Calcule as integrais duplas onde D é um retângulo dado pelas desigualdades abaixo. integral duplaD(x^2+y^2-10) d A, D=(x, y) in R^2 mid 0 <= x <= 1,0 <= y <= 3. (Resp: -20)

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla integral duplaD(x^2+y^2-10) dA, onde D é um retângulo definido por 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 3. Para isso, vamos usar os conceitos de integrais duplas e calcular a área sobre a qual estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma integral dupla sobre um retângulo pode ser calculada iterando duas integrais simples. Ou seja, podemos integrar em relação a y primeiro e depois em relação a x, ou vice-versa. Aqui, vamos integrar primeiro em y e depois em x.

Passo 3

Vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
integral0^1 ( integral0^3 ( x^2 + y^2 - 10 ) dy ) dx

Passo 4

Vamos começar integrando a função x^2 + y^2 - 10 em relação a y, mantendo x constante:
integral0^3 ( x^2 + y^2 - 10 ) dy = integral0^3 x^2 dy + integral0^3 y^2 dy - integral0^3 10 , dy

Passo 5

Calculando cada parte separadamente:
  1. integral0^3 x^2 dy = x^2 cdot y g|0^3 = 3x^2
  2. integral0^3 y^2 dy = y^33 g|0^3 = 273 = 9
  3. integral0^3 10 , dy = 10y g|0^3 = 30

Passo 6

Substituindo os resultados na integral:
3x^2 + 9 - 30 = 3x^2 - 21

Passo 7

Agora, vamos integrar a expressão resultante em relação a x:
integral0^1 ( 3x^2 - 21 ) dx = integral0^1 3x^2 dx - integral0^1 21 , dx

Passo 8

Calculando cada parte:
  1. integral0^1 3x^2 dx = 3 cdot x^33 g|0^1 = 1
  2. integral0^1 21 , dx = 21x g|0^1 = 21

Passo 9

Subtraindo os resultados:
1 - 21 = -20

Resposta

O valor da integral dupla é -20.

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