Calcule as integrais duplas onde é um retângulo dado pelas desigualdades abaixo. . (Resp: -20)
Passo 1
Vamos resolver a integral dupla , onde é um retângulo definido por e . Para isso, vamos usar os conceitos de integrais duplas e calcular a área sobre a qual estamos integrando.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma integral dupla sobre um retângulo pode ser calculada iterando duas integrais simples. Ou seja, podemos integrar em relação a primeiro e depois em relação a , ou vice-versa. Aqui, vamos integrar primeiro em e depois em .
Passo 3
Vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
Passo 4
Vamos começar integrando a função em relação a , mantendo constante:
Passo 5
Calculando cada parte separadamente:
integral0^3 y^2 dy = y^33 g|0^3 = 273 = 9
integral0^3 10 , dy = 10y g|0^3 = 30
Passo 6
Substituindo os resultados na integral:
3x^2 + 9 - 30 = 3x^2 - 21
Passo 7
Agora, vamos integrar a expressão resultante em relação a x: