Calcule as integrais duplas onde D é um retângulo dado pelas desigualdades abaixo. integral duplaD x cos (2 y) d A, D=(x, y) in R^2 mid 0 <= x <= 1, -pi4 <= y <= pi4. (Resp: 12)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos que calcular uma integral dupla sobre uma região , que é um retângulo definido pelas desigualdades e . O conteúdo envolvido aqui é de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar saber como configurar e calcular integrais duplas em regiões retangulares.

Passo 2

Como integral duplaD x cos(2y) , dA = integral0^1 ( integral-pi4^pi4 x cos(2y) , dy ) dx é um retângulo, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada, ou seja, uma integral dentro de outra. Vamos decidir a ordem de integração: primeiro em relação a e depois em relação a . Então, a integral fica assim:

Passo 3

Vamos resolver a integral interna, que é a integral de integral-pi4^pi4 x cos(2y) , dy = x [ 12 sin(2y) ]-pi4^pi4 em relação a x ( 12 sin(pi2) - 12 sin(-pi2) ) , mantendo x ( 12 times 1 - 12 times (-1) ) = x ( 12 + 12 ) = x times 1 = x constante. Sabemos que a integral de em relação a é . Então:
Substituindo os limites de integração:
Sabemos que e , então:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado em relação a integral0^1 x , dx = [ 12 x^2 ]0^1 = 12(1)^2 - 12(0)^2 = 12 - 0 = 12 , de 0 a 1:

Resposta

Exercícios relacionados