Calcule as integrais duplas onde
é um retângulo dado pelas desigualdades abaixo.
. (Resp:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos que calcular uma integral dupla sobre uma região
, que é um retângulo definido pelas desigualdades
e
. O conteúdo envolvido aqui é de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar saber como configurar e calcular integrais duplas em regiões retangulares.
Passo 2
Como
é um retângulo, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada, ou seja, uma integral dentro de outra. Vamos decidir a ordem de integração: primeiro em relação a
e depois em relação a
. Então, a integral fica assim:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna, que é a integral de
em relação a
, mantendo
constante. Sabemos que a integral de
em relação a
é
. Então:
Substituindo os limites de integração:
Sabemos que
e
, então:
Passo 4
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
, de 0 a 1: