Em cada item abaixo, calcule g'(x), utilizando as propriedades vistas em aula.
f(x) = cos(x) cot(x) / (sec(x) - cos(x))

Passo 1

Então, galera, temos um exercício onde precisamos encontrar a derivada de uma função trigonométrica bem elaborada. A função dada é:
Vamos usar as propriedades de derivação que vimos em aula, como a regra do quociente e as derivadas das funções trigonométricas básicas, para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função do tipo é dada pela Regra do Quociente:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de e .
Começando com :
Usamos a Regra do Produto, onde:
Sabemos que:
Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar :
Sabemos que:
Então:

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra do Quociente com as derivadas encontradas:
Substituindo , , e :

Passo 6

Simplificando a expressão passo a passo pode ser complicado, mas essencialmente, após expandir e simplificar os termos, você chegará a uma expressão mais compacta para .

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Em cada item abaixo, calcule g'(x), utilizando as propriedades vistas em aula.
g(x) = 5x + x/(x-1)
Em cada item abaixo, calcule g'(x), utilizando as propriedades vistas em aula.
g(x) = x^3 + x^2 + 7*x + 6
Seja f: R -> R tal que f(x+h) = f(x) * f(h), para quaisquer x, h em R com f(0) diferente de 0.
Calcule f'(0), se existir.
Em cada um dos itens abaixo, faça o esboço de um gráfico de uma função f que satisfaça as condições dadas. [Sugestão: você não precisa fornecer uma expressão para a função. Basta o esboço de um gráfico. Recorde que se f é diferenciável em x_0, então f'(x0) é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)].
f definida e contínua em R, tal que f'(1) não exista.