Em cada um dos itens abaixo, faça o esboço de um gráfico de uma função f que satisfaça as condições dadas. [Sugestão: você não precisa fornecer uma expressão para a função. Basta o esboço de um gráfico. Recorde que se f é diferenciável em x_0, então f'(x0) é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)].
f definida e contínua em R, tal que f'(1) não exista.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico de uma função que é definida e contínua em todos os números reais ( ), mas que a derivada não existe. Isso envolve os conceitos de continuidade e diferenciabilidade. Vamos precisar entender como uma função pode ser contínua em todos os lugares, mas não ter derivada em um ponto específico, que aqui é .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser contínua. Uma função contínua não tem “quebras”, “saltos” ou “buracos” no seu gráfico. Ou seja, você consegue desenhar o gráfico sem levantar o lápis do papel.

Passo 3

Agora, sobre a diferenciabilidade, se a função é diferenciável em um ponto , isso significa que podemos desenhar uma reta tangente suave naquele ponto, sem ângulos agudos ou mudanças bruscas de inclinação. Se a derivada não existe, geralmente isso acontece por causa de um “canto” no gráfico, onde a inclinação muda de repente.

Passo 4

Então, para fazer o esboço de que é contínua em todos os reais, mas não diferenciável em , precisamos desenhar um gráfico que seja suave em todos os lugares, exceto em , onde terá um “canto”. Um bom exemplo é a função valor absoluto, mas deslocada para que o ponto crítico seja em .

Passo 5

Imagine uma linha que vai aumentando de forma suave até , e aí, nesse ponto, muda direcionalmente para outra reta, formando um ângulo agudo. Esse “canto” em faz com que a derivada não exista lá, mesmo a função sendo contínua.

Resposta

O gráfico de é uma curva contínua em que tem um “canto” em . Isso significa que, próximo a , o gráfico muda de inclinação de forma abrupta, fazendo com que a reta tangente não seja única nesse ponto. Fora desse ponto, o gráfico é suave e contínuo.

Exercícios relacionados

Seja f: R -> R tal que f(x+h) = f(x) * f(h), para quaisquer x, h em R com f(0) diferente de 0.
Calcule f'(0), se existir.
Em cada item abaixo, calcule g'(x), utilizando as propriedades vistas em aula.
f(x) = cos(x) cot(x) / (sec(x) - cos(x))
Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de f no(s) ponto(s) (x0, f(x0)). Esboce os gráficos de f e das retas tangente e normal.
f(x) = x cos(x) e x0 = pi / 2.
Seja g(x) = { x² + 2, se x < 1; 2x + 1, se x ≥ 1 }
Mostre que g é diferenciável em x0 = 1 e calcule g'(1).