Em cada um dos itens abaixo, faça o esboço de um gráfico de uma função
que satisfaça as condições dadas. [Sugestão: você não precisa fornecer uma expressão para a função. Basta o esboço de um gráfico. Recorde que se
é diferenciável em
, então
é a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
definida e contínua em
, tal que
não exista.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico de uma função
que é definida e contínua em todos os números reais (
), mas que a derivada
não existe. Isso envolve os conceitos de continuidade e diferenciabilidade. Vamos precisar entender como uma função pode ser contínua em todos os lugares, mas não ter derivada em um ponto específico, que aqui é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser contínua. Uma função contínua não tem “quebras”, “saltos” ou “buracos” no seu gráfico. Ou seja, você consegue desenhar o gráfico sem levantar o lápis do papel.
Passo 3
Agora, sobre a diferenciabilidade, se a função é diferenciável em um ponto
, isso significa que podemos desenhar uma reta tangente suave naquele ponto, sem ângulos agudos ou mudanças bruscas de inclinação. Se a derivada
não existe, geralmente isso acontece por causa de um “canto” no gráfico, onde a inclinação muda de repente.
Passo 4
Então, para fazer o esboço de
que é contínua em todos os reais, mas não diferenciável em
, precisamos desenhar um gráfico que seja suave em todos os lugares, exceto em
, onde terá um “canto”. Um bom exemplo é a função valor absoluto, mas deslocada para que o ponto crítico seja em
.
Passo 5
Imagine uma linha que vai aumentando de forma suave até
, e aí, nesse ponto, muda direcionalmente para outra reta, formando um ângulo agudo. Esse “canto” em
faz com que a derivada não exista lá, mesmo a função sendo contínua.
Resposta
O gráfico de
é uma curva contínua em
que tem um “canto” em
. Isso significa que, próximo a
, o gráfico muda de inclinação de forma abrupta, fazendo com que a reta tangente não seja única nesse ponto. Fora desse ponto, o gráfico é suave e contínuo.
Exercícios relacionados
Seja
tal que
, para quaisquer
.
Calcule , se existir.
Calcule
Em cada item abaixo, calcule
, utilizando as propriedades vistas em aula.
Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de
no(s) ponto(s)
. Esboce os gráficos de
e das retas tangente e normal.
e
.
Seja
Mostre que é diferenciável em
e calcule
.
Mostre que