Seja f: R -> R tal que f(x+h) = f(x) * f(h), para quaisquer x, h em R com f(0) diferente de 0.
Calcule f'(0), se existir.

Passo 1

Então, galera, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função que satisfaz a condição para quaisquer números reais e . Além disso, sabemos que . O objetivo aqui é calcular a derivada de no ponto zero, ou seja, , se essa derivada existir. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções exponenciais e propriedades de derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a condição dada: . Essa relação é característica das funções exponenciais. Podemos pensar que , onde é uma constante. Mas, antes de assumir isso, vamos verificar o valor de .

Passo 3

Vamos calcular usando a condição dada. Se colocarmos e , temos:
Ou seja:
Como , podemos dividir ambos os lados por :
Então, descobrimos que .

Passo 4

Agora, vamos assumir que é diferenciável, já que queremos calcular . Vamos derivar a condição em relação a e depois avaliar em .

Passo 5

Derivando ambos os lados em relação a :
Usando a regra da cadeia no lado esquerdo e a regra do produto no lado direito, temos:

Passo 6

Agora, vamos avaliar a expressão obtida em :
Simplificando:

Passo 7

Essa equação diferencial mostra que a derivada de em qualquer ponto é proporcional a multiplicada por uma constante . Isso caracteriza uma equação diferencial de primeira ordem cuja solução geral é:
Onde .

Passo 8

Já sabemos que , então:
Agora, precisamos determinar o valor de , que é exatamente .

Passo 9

Para encontrar , vamos derivar :
Avaliando em :
Então, .

Resposta

A derivada de no ponto zero é , onde é a constante na expressão da função exponencial que satisfaz a condição dada.

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