Seja
tal que
, para quaisquer
.
Calcule
, se existir.
Calcule
Passo 1
Então, galera, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função
que satisfaz a condição
para quaisquer números reais
e
. Além disso, sabemos que
. O objetivo aqui é calcular a derivada de
no ponto zero, ou seja,
, se essa derivada existir. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções exponenciais e propriedades de derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a condição dada:
. Essa relação é característica das funções exponenciais. Podemos pensar que
, onde
é uma constante. Mas, antes de assumir isso, vamos verificar o valor de
.
Passo 3
Vamos calcular
usando a condição dada. Se colocarmos
e
, temos:
Ou seja:
Como
, podemos dividir ambos os lados por
:
Então, descobrimos que
.
Passo 4
Agora, vamos assumir que
é diferenciável, já que queremos calcular
. Vamos derivar a condição
em relação a
e depois avaliar em
.
Passo 5
Derivando ambos os lados em relação a
:
Usando a regra da cadeia no lado esquerdo e a regra do produto no lado direito, temos:
Passo 6
Agora, vamos avaliar a expressão obtida em
:
Simplificando:
Passo 7
Essa equação diferencial mostra que a derivada de
em qualquer ponto
é proporcional a
multiplicada por uma constante
. Isso caracteriza uma equação diferencial de primeira ordem cuja solução geral é:
Onde
.
Passo 8
Já sabemos que
, então:
Agora, precisamos determinar o valor de
, que é exatamente
.
Passo 9
Para encontrar
, vamos derivar
:
Avaliando em
:
Então,
.
Resposta
A derivada de
no ponto zero é
, onde
é a constante na expressão da função exponencial que satisfaz a condição dada.
Exercícios relacionados
Em cada item abaixo, calcule
, utilizando as propriedades vistas em aula.
Em cada item abaixo, calcule
, utilizando as propriedades vistas em aula.
Em cada um dos itens abaixo, faça o esboço de um gráfico de uma função
que satisfaça as condições dadas. [Sugestão: você não precisa fornecer uma expressão para a função. Basta o esboço de um gráfico. Recorde que se
é diferenciável em
, então
é a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
definida e contínua em
, tal que
não exista.
Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de
no(s) ponto(s)
. Esboce os gráficos de
e das retas tangente e normal.
e
.