Em cada item abaixo, calcule
, utilizando as propriedades vistas em aula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos a derivada de
, utilizando as propriedades que aprendemos em aula. Isso está relacionado ao cálculo diferencial, especificamente às derivadas de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas básicas, como o cosseno e o seno, e aplicar essas regras para encontrar a derivada da cotangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é
. A cotangente é uma função trigonométrica que pode ser expressa em termos de seno e cosseno:
Isso vai nos ajudar a entender melhor como derivar essa função.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre derivadas. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável, que neste caso é
. Para encontrar a derivada de
, podemos usar uma regra de derivação chamada regra do quociente, já que
é uma divisão de duas funções (
e
).
Passo 4
A regra do quociente diz que se temos uma função
, então a derivada
é:
Aplicando isso em
, temos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Sabemos, pela identidade trigonométrica, que
. Portanto:
E
é
. Assim, temos:
Resposta
A derivada de
é:
Exercícios relacionados
Seja
Mostre que é diferenciável em
e calcule
.
Mostre que
Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de
no(s) ponto(s)
. Esboce os gráficos de
e das retas tangente e normal.
e
.
Em cada um dos itens abaixo, faça o esboço de um gráfico de uma função
que satisfaça as condições dadas. [Sugestão: você não precisa fornecer uma expressão para a função. Basta o esboço de um gráfico. Recorde que se
é diferenciável em
, então
é a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
definida e diferenciável em
, com
, para todo
.
Calcule
pela definição, sendo dados:
e