Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de f no(s) ponto(s) (x0, f(x0)). Esboce os gráficos de f e das retas tangente e normal.
f(x) = x cos(x) e x0 = pi / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos precisar saber um pouco de cálculo, especificamente sobre derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangente e normal.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de . Substituindo por na função:
Sabemos que , então:
Portanto, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de , que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . Vamos derivar usando a regra do produto:
Sabemos que e , então:

Passo 4

Vamos calcular para encontrar a inclinação da reta tangente naquele ponto:
Novamente, e , então:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação da tangente e o ponto , podemos usar a equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Essa é a equação da reta tangente.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a reta normal. A reta normal é perpendicular à tangente, então sua inclinação é o inverso negativo de :

Passo 7

Usando a mesma equação da reta, mas agora com :
Simplificando:
Essa é a equação da reta normal.

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é:
E a equação da reta normal nesse ponto é:

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