Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de
no(s) ponto(s)
. Esboce os gráficos de
e das retas tangente e normal.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função
no ponto
. Para isso, vamos precisar saber um pouco de cálculo, especificamente sobre derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangente e normal.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de
. Substituindo
por
na função:
Sabemos que
, então:
Portanto, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
. Vamos derivar
usando a regra do produto:
Sabemos que
e
, então:
Passo 4
Vamos calcular
para encontrar a inclinação da reta tangente naquele ponto:
Novamente,
e
, então:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
Com a inclinação da tangente
e o ponto
, podemos usar a equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Essa é a equação da reta tangente.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a reta normal. A reta normal é perpendicular à tangente, então sua inclinação
é o inverso negativo de
:
Passo 7
Usando a mesma equação da reta, mas agora com
:
Simplificando:
Essa é a equação da reta normal.
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
é:
E a equação da reta normal nesse ponto é: