Em cada um dos itens abaixo, faça o esboço de um gráfico de uma função
que satisfaça as condições dadas. [Sugestão: você não precisa fornecer uma expressão para a função. Basta o esboço de um gráfico. Recorde que se
é diferenciável em
, então
é a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
definida e diferenciável em
, com
, para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar o gráfico de uma função
que é definida e diferenciável em todos os números reais (
), e cuja derivada
é sempre maior que zero para todo
. Isso significa que a função está relacionada a conceitos de derivadas e crescimento de funções. Para resolver, precisamos entender o que significa ter uma derivada sempre positiva e como isso afeta o gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se uma função é diferenciável em todos os pontos, isso significa que seu gráfico é suave, sem cantos ou pausas. Agora, a derivada
representa a inclinação da reta tangente ao gráfico da função naquele ponto. Quando
para todo
, significa que em cada ponto, a inclinação da reta tangente é positiva, ou seja, o gráfico está sempre subindo. Isso indica que a função é estritamente crescente em todo o domínio.
Passo 3
Com essas informações, vamos pensar em como desenhar o gráfico. Como a função está sempre aumentando e é suave, o gráfico não terá máximos ou mínimos locais. Além disso, n��o haverá pontos onde a inclinação seja zero ou negativa. O gráfico vai se estender indefinidamente para cima e para baixo, sempre subindo à medida que nos movemos para a direita ou para a esquerda no eixo
.
Resposta
O gráfico da função
será uma curva suave que sempre sobe à medida que nos movemos ao longo do eixo
. Não haverá pontos de inflexão onde a função para de crescer, e a inclinação da reta tangente será sempre positiva. Imagine uma linha que sobe continuamente da esquerda para a direita, sem nunca descer, representando uma função estritamente crescente em todo o seu domínio.
Exercícios relacionados
Em cada item abaixo, calcule
, utilizando as propriedades vistas em aula.
Seja
Mostre que é diferenciável em
e calcule
.
Mostre que
Calcule
pela definição, sendo dados:
e
Calcule
pela definição, sendo dados:
e