Em cada um dos itens abaixo, faça o esboço de um gráfico de uma função f que satisfaça as condições dadas. [Sugestão: você não precisa fornecer uma expressão para a função. Basta o esboço de um gráfico. Recorde que se f é diferenciável em x_0, então f'(x0) é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)].
f definida e diferenciável em R, com f'(x) > 0, para todo x em R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar o gráfico de uma função que é definida e diferenciável em todos os números reais ( ), e cuja derivada é sempre maior que zero para todo . Isso significa que a função está relacionada a conceitos de derivadas e crescimento de funções. Para resolver, precisamos entender o que significa ter uma derivada sempre positiva e como isso afeta o gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se uma função é diferenciável em todos os pontos, isso significa que seu gráfico é suave, sem cantos ou pausas. Agora, a derivada representa a inclinação da reta tangente ao gráfico da função naquele ponto. Quando para todo , significa que em cada ponto, a inclinação da reta tangente é positiva, ou seja, o gráfico está sempre subindo. Isso indica que a função é estritamente crescente em todo o domínio.

Passo 3

Com essas informações, vamos pensar em como desenhar o gráfico. Como a função está sempre aumentando e é suave, o gráfico não terá máximos ou mínimos locais. Além disso, n��o haverá pontos onde a inclinação seja zero ou negativa. O gráfico vai se estender indefinidamente para cima e para baixo, sempre subindo à medida que nos movemos para a direita ou para a esquerda no eixo .

Resposta

O gráfico da função será uma curva suave que sempre sobe à medida que nos movemos ao longo do eixo . Não haverá pontos de inflexão onde a função para de crescer, e a inclinação da reta tangente será sempre positiva. Imagine uma linha que sobe continuamente da esquerda para a direita, sem nunca descer, representando uma função estritamente crescente em todo o seu domínio.

Exercícios relacionados

Em cada item abaixo, calcule g'(x), utilizando as propriedades vistas em aula.
g(x) = cot(x)
Seja g(x) = { x² + 2, se x < 1; 2x + 1, se x ≥ 1 }
Mostre que g é diferenciável em x0 = 1 e calcule g'(1).
Calcule f'(x0) pela definição, sendo dados:
f(x) = 12 x e x0 = 3
Calcule f'(x0) pela definição, sendo dados:
f(x) = 1/x^2 e x0 = 2