Seja
Mostre que
é diferenciável em
e calcule
.
Mostre que
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo diferencial! A gente tem uma função definida por partes:
A tarefa é mostrar que essa função é diferenciável em
e calcular
. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto e como calcular a derivada nessa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função ser diferenciável em um ponto significa que ela tem uma derivada nesse ponto. Isso implica que a função é contínua ali e que a derivada pela esquerda e pela direita nesse ponto existem e são iguais.
Então, nosso primeiro passo é verificar se
é contínua em
.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade em
. Para isso, precisamos ver se o limite de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda é igual ao limite quando
se aproxima de 1 pela direita e também igual ao valor da função em 1.
Calculando o limite pela esquerda (
):
Calculando o limite pela direita (
):
E o valor da função em
:
Como todos os valores são iguais a 3, a função é contínua em
.
Passo 4
Agora que sabemos que
é contínua em
, vamos verificar se as derivadas pela esquerda e pela direita em
existem e são iguais.
Primeiro, vamos encontrar a derivada de cada parte da função.
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas nos limites quando
se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita.
Derivada pela esquerda (
):
Derivada pela direita (
):
Como ambas as derivadas são iguais a 2, podemos concluir que a derivada existe em
e que
é diferenciável nesse ponto.
Resposta
A função
é diferenciável em
e a derivada nesse ponto é
.