Seja g(x) = { x² + 2, se x < 1; 2x + 1, se x ≥ 1 }
Mostre que g é diferenciável em x0 = 1 e calcule g'(1).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo diferencial! A gente tem uma função definida por partes:
A tarefa é mostrar que essa função é diferenciável em e calcular . Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto e como calcular a derivada nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função ser diferenciável em um ponto significa que ela tem uma derivada nesse ponto. Isso implica que a função é contínua ali e que a derivada pela esquerda e pela direita nesse ponto existem e são iguais.
Então, nosso primeiro passo é verificar se é contínua em .

Passo 3

Vamos verificar a continuidade em . Para isso, precisamos ver se o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda é igual ao limite quando se aproxima de 1 pela direita e também igual ao valor da função em 1.
Calculando o limite pela esquerda ( ):
Calculando o limite pela direita ( ):
E o valor da função em :
Como todos os valores são iguais a 3, a função é contínua em .

Passo 4

Agora que sabemos que é contínua em , vamos verificar se as derivadas pela esquerda e pela direita em existem e são iguais.
Primeiro, vamos encontrar a derivada de cada parte da função.
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas nos limites quando se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita.
Derivada pela esquerda ( ):
Derivada pela direita ( ):
Como ambas as derivadas são iguais a 2, podemos concluir que a derivada existe em e que é diferenciável nesse ponto.

Resposta

A função é diferenciável em e a derivada nesse ponto é .

Exercícios relacionados

Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de f no(s) ponto(s) (x0, f(x0)). Esboce os gráficos de f e das retas tangente e normal.
f(x) = x cos(x) e x0 = pi / 2.
Em cada um dos itens abaixo, faça o esboço de um gráfico de uma função f que satisfaça as condições dadas. [Sugestão: você não precisa fornecer uma expressão para a função. Basta o esboço de um gráfico. Recorde que se f é diferenciável em x_0, então f'(x0) é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)].
f definida e contínua em R, tal que f'(1) não exista.
Em cada item abaixo, calcule g'(x), utilizando as propriedades vistas em aula.
g(x) = cot(x)
Em cada um dos itens abaixo, faça o esboço de um gráfico de uma função f que satisfaça as condições dadas. [Sugestão: você não precisa fornecer uma expressão para a função. Basta o esboço de um gráfico. Recorde que se f é diferenciável em x_0, então f'(x0) é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)].
f definida e diferenciável em R, com f'(x) > 0, para todo x em R.