Seja
Mostre que
é diferenciável em
e calcule
.
Mostre que
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo diferencial! A gente tem uma função definida por partes:
A tarefa é mostrar que essa função é diferenciável em
e calcular
. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto e como calcular a derivada nessa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função ser diferenciável em um ponto significa que ela tem uma derivada nesse ponto. Isso implica que a função é contínua ali e que a derivada pela esquerda e pela direita nesse ponto existem e são iguais.
Então, nosso primeiro passo é verificar se
é contínua em
.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade em
. Para isso, precisamos ver se o limite de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda é igual ao limite quando
se aproxima de 1 pela direita e também igual ao valor da função em 1.
Calculando o limite pela esquerda (
):
Calculando o limite pela direita (
):
E o valor da função em
:
Como todos os valores são iguais a 3, a função é contínua em
.
Passo 4
Agora que sabemos que
é contínua em
, vamos verificar se as derivadas pela esquerda e pela direita em
existem e são iguais.
Primeiro, vamos encontrar a derivada de cada parte da função.
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas nos limites quando
se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita.
Derivada pela esquerda (
):
Derivada pela direita (
):
Como ambas as derivadas são iguais a 2, podemos concluir que a derivada existe em
e que
é diferenciável nesse ponto.
Resposta
A função
é diferenciável em
e a derivada nesse ponto é
.
Exercícios relacionados
Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de
no(s) ponto(s)
. Esboce os gráficos de
e das retas tangente e normal.
e
.
Em cada um dos itens abaixo, faça o esboço de um gráfico de uma função
que satisfaça as condições dadas. [Sugestão: você não precisa fornecer uma expressão para a função. Basta o esboço de um gráfico. Recorde que se
é diferenciável em
, então
é a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
definida e contínua em
, tal que
não exista.
Em cada item abaixo, calcule
, utilizando as propriedades vistas em aula.
Em cada um dos itens abaixo, faça o esboço de um gráfico de uma função
que satisfaça as condições dadas. [Sugestão: você não precisa fornecer uma expressão para a função. Basta o esboço de um gráfico. Recorde que se
é diferenciável em
, então
é a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
definida e diferenciável em
, com
, para todo
.