Em cada item abaixo, calcule , utilizando as propriedades vistas em aula: $g(x)=\frac{2 \cos (x)}{x^{2}+\frac{1}{2} x+1}

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada de . Isso faz parte da matéria de cálculo, mais especificamente de derivadas. Para resolver, vamos precisar usar a regra do quociente, que é fundamental para derivar funções que são o quociente de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que compõem o quociente. No caso, temos:
  • Função de cima (numerador):
  • Função de baixo (denominador):

Passo 3

A regra do quociente diz que a derivada de é dada por:
Vamos aplicar essa fórmula no nosso caso.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular , a derivada de :
Isso porque a derivada de é , e multiplicamos pelo coeficiente 2.

Passo 5

Agora, vamos calcular , a derivada de :
Derivamos termo a termo: a derivada de é , a de é , e a de uma constante é zero.

Passo 6

Agora, vamos substituir , , e na fórmula da regra do quociente:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador:
Distribuindo os termos:

Passo 8

Agora, colocando tudo junto na expressão da derivada:

Resposta

A derivada de é:

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