Em cada item abaixo, calcule g'(x), utilizando as propriedades vistas em aula: g(x) = (3 x^3 - 2 x^2 + 4) / (4 x^3 + 5 x^2)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de . O conteúdo que vamos usar é o cálculo de derivadas, especificamente a Regra do Quociente, que é usada quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções. Para aplicar essa regra, precisamos conhecer as derivadas do numerador e do denominador.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as funções que formam o quociente:
  • Numerador:
  • Denominador:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas dessas funções separadamente.
  • Derivada de :
  • Derivada de :

Passo 4

Aplicaremos agora a Regra do Quociente, que diz que a derivada de é:
Isso significa que multiplicamos a derivada do numerador pelo denominador original, subtraímos o numerador original multiplicado pela derivada do denominador, e dividimos tudo pelo quadrado do denominador.

Passo 5

Substituindo as derivadas e as funções que já calculamos na fórmula:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador realizando as multiplicações:

Passo 7

Subtraindo os dois resultados:
Simplificando:

Passo 8

Portanto, a derivada final é:

Resposta

A derivada de é:

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