Derive implicitamente as equações abaixo, sabendo que
é dada implicitamente como função de
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de diferenciação implícita. O enunciado nos dá a equação
e quer que a gente encontre a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a técnica de diferenciação implícita, que é super útil quando
está misturado com
na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então ao derivar termos que envolvem
, precisamos usar a regra da cadeia.
A equação é:
Vamos diferenciar cada parte:
-
Derivada de
em relação a :
Aqui usamos a regra do produto, que diz que a derivada deé . Então: -
Derivada de
em relação a :
Aqui usamos a regra da cadeia. A derivada deé , onde . Então:
Passo 3
Agora, vamos igualar as derivadas dos dois lados:
Nosso objetivo é isolar
. Para isso, vamos mover o
para o outro lado:
Agora, dividimos ambos os lados por
(desde que
) para encontrar
:
Podemos simplificar essa expressão dividindo cada termo por
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: