Derive implicitamente as equações abaixo, sabendo que y é dada implicitamente como função de x :
xy = cos(x^2 + 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de diferenciação implícita. O enunciado nos dá a equação e quer que a gente encontre a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a técnica de diferenciação implícita, que é super útil quando está misturado com na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então ao derivar termos que envolvem , precisamos usar a regra da cadeia.
A equação é:
Vamos diferenciar cada parte:
  • Derivada de em relação a :
    Aqui usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é . Então:
  • Derivada de em relação a :
    Aqui usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde . Então:

Passo 3

Agora, vamos igualar as derivadas dos dois lados:
Nosso objetivo é isolar . Para isso, vamos mover o para o outro lado:
Agora, dividimos ambos os lados por (desde que ) para encontrar :
Podemos simplificar essa expressão dividindo cada termo por :

Resposta

A derivada de em relação a é:

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