Em cada item abaixo, determine as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico de
no(s) ponto(s)
:
e
10c
Em cada item abaixo, determine as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico de
no(s) ponto(s)
:
e
10c
Em cada item abaixo, determine as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico de
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função
no ponto onde
. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas, que são uma ferramenta fundamental no cálculo para determinar a inclinação de uma curva em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de
. Como
:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora precisamos encontrar a derivada de
, que nos dá a inclinação da reta tangente no ponto
. A função é
, que pode ser escrita como
.
A derivada de
é
. Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada no ponto
:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente e o ponto de tangência, podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar a equação da reta tangente:
Então, a equação da reta tangente é
.
Passo 7
Para encontrar a reta normal, precisamos da inclinação que é o negativo do recíproco da inclinação da reta tangente. Então:
Passo 8
Usando a fórmula da reta novamente para a reta normal:
Passo 9
Simplificando a equação da reta normal:
Resposta
A equação da reta tangente é
e a equação da reta normal é
.