Em cada item abaixo, calcule g'(x), utilizando as propriedades vistas em aula: g(x) = (x^3 * sec(x) * tg(x)) / ((x^2 + 1) * cos(x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada de . A matéria que vamos utilizar aqui é o Cálculo Diferencial, especificamente as regras de derivação para funções racionais, produtos e funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar aplicar a Regra do Quociente, a Regra do Produto e saber derivar funções trigonométricas como o secante e a tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que correspondem ao numerador e ao denominador.
  • Numerador:
  • Denominador:
Para derivar , vamos usar a Regra do Quociente, que diz:

Passo 3

Vamos calcular , a derivada do numerador. Como é um produto de três funções ( , e ), vamos usar a Regra do Produto. Para simplificar, podemos considerar duas funções:
A derivada de será:
Calculando cada parte:
Então:

Passo 4

Agora vamos calcular , a derivada do denominador. A função também é um produto de duas funções, então usamos a Regra do Produto:
Calculando cada parte:
Então:

Passo 5

Agora que temos e , podemos aplicar a Regra do Quociente para encontrar :
Substituindo as expressões que encontramos:

Resposta

A derivada de é:

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