Em cada item abaixo, calcule g'(x), utilizando as propriedades vistas em aula: g(x) = 2 cos(x) / (x^2 + (1/2) x + 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a derivada da função . Isso envolve cálculo diferencial, mais especificamente, vamos usar a Regra do Quociente, que é uma das técnicas que vimos em aula para derivar funções que são o quociente de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador. No caso:
  • Numerador:
  • Denominador:

Passo 3

Agora, precisamos derivar essas duas partes separadamente. Vamos encontrar e .
  • Derivada do numerador:
    Aqui, usamos a regra básica de derivação da função cosseno, onde a derivada de é .
  • Derivada do denominador:
    Aplicamos a regra de potência para e a derivada de é 1, e a derivada de uma constante é zero.

Passo 4

Agora que temos , , e , podemos aplicar a Regra do Quociente para encontrar . A Regra do Quociente diz que:

Passo 5

Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro, multiplica o termo com :
Depois, multiplica o termo com :
Agora, juntando tudo:

Passo 7

Finalmente, podemos escrever a derivada completa:

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados