Calcule f'(x) pela definição: f(x) = x^3

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a derivada de usando a definição de derivada. Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente de derivadas utilizando limites. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma derivada e como aplicar o conceito de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada de uma função :
Essa definição nos diz que a derivada é o limite da razão entre a variação da função e a variação de quando essa variação de ( ) se aproxima de zero.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para a nossa função . Primeiro, calculemos :

Passo 4

Vamos expandir usando a fórmula do cubo da soma:

Passo 5

Substituímos e na definição da derivada:

Passo 6

Simplificamos a expressão dentro do limite:

Passo 7

Podemos fatorar no numerador:

Passo 8

Agora, aplicamos o limite quando tende a 0:

Resposta

A derivada de é .

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