Nos exercícios abaixo, esboce o gráfico da função, especificando o domínio, a imagem e, quando possível, a parideade (par ou ímpar).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente desenhar o gráfico da função
. Além disso, precisamos identificar o domínio (todos os valores de
que a função pode ter), a imagem (todos os valores possíveis de
) e, se der, se a função é par ou ímpar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções valor absoluto e propriedades de funções como domínio, imagem e paridade.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
que podemos colocar na função sem problemas. Como temos valores absolutos e nenhuma divisão por zero ou raízes quadradas, não tem restrição. Então, o domínio de
é todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos achar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores que
pode assumir. Sabemos que valores absolutos sempre dão resultados não negativos. Então, tanto
quanto
são maiores ou iguais a zero. A soma desses dois também será maior ou igual a zero. Vamos ver o mínimo que isso pode valer.
Para encontrar o mínimo, observamos que:
Isso representa a soma das distâncias de
até 3 e até 1 na reta numérica. O menor valor dessa soma ocorre quando
está entre 1 e 3. Nesse intervalo, a soma é constante e igual a 2. Fora desse intervalo, a soma aumenta. Portanto, a imagem de
é todos os números reais maiores ou iguais a 2.
Passo 4
Vamos ver se a função é par ou ímpar. Uma função é par se
e ímpar se
. Vamos testar:
Comparando com
, não são iguais nem o inverso. Então, a função não é nem par nem ímpar.
Passo 5
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função. Sabemos que a soma de dois valores absolutos cria "V"s no gráfico. Vamos identificar pontos chave:
- Quando
, - Quando
, - Para
e , a função aumenta linearmente.
Então, o gráfico tem um “mínimo” no ponto (1,2) e (3,2), e sobe para os lados, formando um “V” invertido.
Resposta
O domínio da função
é todos os números reais (
). A imagem de
é
. A função não é nem par nem ímpar. O gráfico de
apresenta um “V” invertido com pontos de mínimo nos pontos
e
, onde
.