Nos exercícios abaixo, esboce o gráfico da função, especificando o domínio, a imagem e, quando possível, a parideade (par ou ímpar). g(x) = |3 - x| + |x - 1|

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente desenhar o gráfico da função . Além disso, precisamos identificar o domínio (todos os valores de que a função pode ter), a imagem (todos os valores possíveis de ) e, se der, se a função é par ou ímpar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções valor absoluto e propriedades de funções como domínio, imagem e paridade.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de que podemos colocar na função sem problemas. Como temos valores absolutos e nenhuma divisão por zero ou raízes quadradas, não tem restrição. Então, o domínio de é todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos achar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores que pode assumir. Sabemos que valores absolutos sempre dão resultados não negativos. Então, tanto quanto são maiores ou iguais a zero. A soma desses dois também será maior ou igual a zero. Vamos ver o mínimo que isso pode valer.
Para encontrar o mínimo, observamos que:
Isso representa a soma das distâncias de até 3 e até 1 na reta numérica. O menor valor dessa soma ocorre quando está entre 1 e 3. Nesse intervalo, a soma é constante e igual a 2. Fora desse intervalo, a soma aumenta. Portanto, a imagem de é todos os números reais maiores ou iguais a 2.

Passo 4

Vamos ver se a função é par ou ímpar. Uma função é par se e ímpar se . Vamos testar:
Comparando com , não são iguais nem o inverso. Então, a função não é nem par nem ímpar.

Passo 5

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função. Sabemos que a soma de dois valores absolutos cria "V"s no gráfico. Vamos identificar pontos chave:
  • Quando ,
  • Quando ,
  • Para e , a função aumenta linearmente.
Então, o gráfico tem um “mínimo” no ponto (1,2) e (3,2), e sobe para os lados, formando um “V” invertido.

Resposta

O domínio da função é todos os números reais ( ). A imagem de é . A função não é nem par nem ímpar. O gráfico de apresenta um “V” invertido com pontos de mínimo nos pontos e , onde .

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