Seja
: Mostre que
é diferenciável em
e calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
A tarefa é mostrar que essa função é diferenciável em
e, se for, encontrar a derivada nesse ponto. Diferenciável significa que a função tem uma tangente bem definida nesse ponto, ou seja, a derivada existe e é a mesma vindo da esquerda e da direita.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em
. Isso é importante porque, para ser diferenciável, a função primeiro precisa ser contínua nesse ponto.
Calculando o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda:
E pela direita:
Como os limites laterais são iguais e a função está definida como 3 em
, ela é contínua nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas pela esquerda e pela direita em
.
Para
, a função é
. A derivada dessa parte é:
Então, a derivada pela esquerda em
é:
Para
, a função é
. A derivada dessa parte é:
Então, a derivada pela direita em
é:
Passo 4
Como as derivadas pela esquerda e pela direita em
são iguais (
), isso significa que a função
é diferenciável em
.
Resposta
A função
é diferenciável em
e a derivada nesse ponto é
.