Seja g(x) = { x² + 2, se x < 1; 2x + 1, se x ≥ 1 }: Mostre que g é diferenciável em x0 = 1 e calcule g'(1).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
A tarefa é mostrar que essa função é diferenciável em e, se for, encontrar a derivada nesse ponto. Diferenciável significa que a função tem uma tangente bem definida nesse ponto, ou seja, a derivada existe e é a mesma vindo da esquerda e da direita.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Isso é importante porque, para ser diferenciável, a função primeiro precisa ser contínua nesse ponto.
Calculando o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda:
E pela direita:
Como os limites laterais são iguais e a função está definida como 3 em , ela é contínua nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas pela esquerda e pela direita em .
Para , a função é . A derivada dessa parte é:
Então, a derivada pela esquerda em é:
Para , a função é . A derivada dessa parte é:
Então, a derivada pela direita em é:

Passo 4

Como as derivadas pela esquerda e pela direita em são iguais ( ), isso significa que a função é diferenciável em .

Resposta

A função é diferenciável em e a derivada nesse ponto é .

Exercícios relacionados

<html><head></head><body><div>Nos exercícios abaixo, esboce o gráfico da função, especificando o domínio, a imagem e, quando possível, a parideade (par ou ímpar). <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“22.814ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 10083.9 1000”><title>g(x) = |3 - x| + |x - 1|</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D454” d=“M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(477,0)”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 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</body></html>
<html><head></head><body><div>(UNESP) Considere a função <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.464ex;” xmlns=“
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<div><span class="math-block ">
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