Seja g(x) = { x² + 2, se x < 1; 2x + 1, se x ≥ 1 }: Mostre que g é diferenciável em x0 = 1 e calcule g'(1).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
A tarefa é mostrar que essa função é diferenciável em e, se for, encontrar a derivada nesse ponto. Diferenciável significa que a função tem uma tangente bem definida nesse ponto, ou seja, a derivada existe e é a mesma vindo da esquerda e da direita.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Isso é importante porque, para ser diferenciável, a função primeiro precisa ser contínua nesse ponto.
Calculando o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda:
E pela direita:
Como os limites laterais são iguais e a função está definida como 3 em , ela é contínua nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas pela esquerda e pela direita em .
Para , a função é . A derivada dessa parte é:
Então, a derivada pela esquerda em é:
Para , a função é . A derivada dessa parte é:
Então, a derivada pela direita em é:

Passo 4

Como as derivadas pela esquerda e pela direita em são iguais ( ), isso significa que a função é diferenciável em .

Resposta

A função é diferenciável em e a derivada nesse ponto é .

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