Em cada item abaixo, calcule , utilizando as propriedades vistas em aula: $g(x)=\frac{3 x^{3}-2 x^{2}+4}{4 x^{3}+5 x^{2}}

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função . Isso envolve o uso do cálculo diferencial, especificamente a Regra do Quociente, que é usada quando temos uma função que é um quociente de duas outras funções.

Passo 2

Vamos identificar as duas funções que formam o quociente. Seja o numerador e o denominador. A derivada de usando a Regra do Quociente é dada por:
Então, precisamos encontrar as derivadas e .

Passo 3

Calculando a derivada de :

Passo 4

Calculando a derivada de :

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra do Quociente substituindo os valores encontrados:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador expandindo as expressões:

Passo 7

Subtraindo as duas partes do numerador:
Então, o numerador simplificado é:

Passo 8

Colocando tudo junto, a derivada fica:

Resposta

A derivada da função é:

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Em cada item abaixo, calcule , utilizando as propriedades vistas em aula: $g(x)=\operatorname{tg} x
Em cada item abaixo, calcule , utilizando as propriedades vistas em aula: $g(x)=x^{3}+x
Em cada item abaixo, calcule , utilizando as propriedades vistas em aula: $g(x)=\frac{x^{3} \sec (x) \operatorname{tg}(x)}{\left(x^{2}+1\right) \cos (x)}
Em cada item abaixo, calcule , utilizando as propriedades vistas em aula: $g(x)=\frac{\cos (x) \cot (x)}{\sec (x)-\cos (x)}