Em cada item abaixo, calcule , utilizando as propriedades vistas em aula: $g(x)=\frac{x^{3} \sec (x) \operatorname{tg}(x)}{\left(x^{2}+1\right) \cos (x)}

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar a derivada de . Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas, especificamente a regra do quociente e a regra do produto. Vamos precisar lembrar das derivadas de funções trigonométricas como e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função como um quociente de duas funções: no numerador e no denominador. A regra do quociente diz que a derivada de é:

Passo 3

Vamos agora encontrar . Como , que é um produto de três funções, usamos a regra do produto. A derivada de será:
Calculando cada derivada:
Substituindo de volta:

Passo 4

Agora, vamos encontrar . Temos , que também é um produto de duas funções. Aplicando a regra do produto:
Calculando cada derivada:
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do quociente:
Substituindo , , e :

Passo 6

Podemos simplificar a expressão. Primeiro, observamos que , então algumas parcelas vão simplificar:
Simplificando ainda mais, mas para manter a resposta final clara, vamos deixar assim.

Resposta

A derivada de é:

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Em cada item abaixo, calcule , utilizando as propriedades vistas em aula: $g(x)=\frac{3 x^{3}-2 x^{2}+4}{4 x^{3}+5 x^{2}}
Em cada item abaixo, calcule , utilizando as propriedades vistas em aula: $g(x)=\operatorname{tg} x
Em cada item abaixo, calcule , utilizando as propriedades vistas em aula: $g(x)=\frac{\cos (x) \cot (x)}{\sec (x)-\cos (x)}
Em cada item abaixo, calcule , utilizando as propriedades vistas em aula: $g(x)=\frac{x}{x^{2}+1}