Em cada item abaixo, calcule
, utilizando as propriedades vistas em aula: $g(x)=\frac{x^{3} \sec (x) \operatorname{tg}(x)}{\left(x^{2}+1\right) \cos (x)}
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar a derivada de
. Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas, especificamente a regra do quociente e a regra do produto. Vamos precisar lembrar das derivadas de funções trigonométricas como
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função como um quociente de duas funções:
no numerador e
no denominador. A regra do quociente diz que a derivada de
é:
Passo 3
Vamos agora encontrar
. Como
, que é um produto de três funções, usamos a regra do produto. A derivada de
será:
Calculando cada derivada:
Substituindo de volta:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
. Temos
, que também é um produto de duas funções. Aplicando a regra do produto:
Calculando cada derivada:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Substituindo
,
,
e
:
Passo 6
Podemos simplificar a expressão. Primeiro, observamos que
, então algumas parcelas vão simplificar:
Simplificando ainda mais, mas para manter a resposta final clara, vamos deixar assim.
Resposta
A derivada de
é:
Exercícios relacionados
Em cada item abaixo, calcule
, utilizando as propriedades vistas em aula: $g(x)=\frac{3 x^{3}-2 x^{2}+4}{4 x^{3}+5 x^{2}}
Em cada item abaixo, calcule
, utilizando as propriedades vistas em aula: $g(x)=\operatorname{tg} x
Em cada item abaixo, calcule
, utilizando as propriedades vistas em aula: $g(x)=\frac{\cos (x) \cot (x)}{\sec (x)-\cos (x)}
Em cada item abaixo, calcule
, utilizando as propriedades vistas em aula: $g(x)=\frac{x}{x^{2}+1}