Para cada item abaixo, calcule o valor de: Z1 cdot Z2Z1+Z2
Z1=6-j 2 e Z2=1+j 8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a expressão Z1 cdot Z2Z1+Z2 onde:
  • Z1 = 6 - j2
  • Z2 = 1 + j8
Esse tipo de cálculo costuma aparecer em eletrônica, especialmente quando trabalhamos com impedâncias em circuitos elétricos. Para resolver isso, vamos precisar saber como somar e multiplicar números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos somar Z1 e Z2. Lembrando que números complexos são da forma a + jb, onde a é a parte real e b é a parte imaginária.
Então:
Z1 + Z2 = (6 - j2) + (1 + j8)
Agora, somamos as partes reais e as partes imaginárias separadamente:
= (6 + 1) + (-j2 + j8) = 7 + j6

Passo 3

Agora, vamos multiplicar Z1 por Z2. Para isso, usamos a regra de multiplicação de números complexos:
(a + jb) cdot (c + jd) = (ac - bd) + j(ad + bc)
Aplicando isso:
Z1 cdot Z2 = (6 - j2) cdot (1 + j8)
= 6 cdot 1 + 6 cdot j8 - j2 cdot 1 - j2 cdot j8
= 6 + j48 - j2 - j^2 16
Lembrando que j^2 = -1, então:
= 6 + j48 - j2 + 16
= (6 + 16) + j(48 - 2) = 22 + j46

Passo 4

Agora que temos Z1 + Z2 = 7 + j6 e Z1 cdot Z2 = 22 + j46, vamos calcular a divisão Z1 cdot Z2Z1+Z2:
22 + j467 + j6
Para facilitar a divisão, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de 7 + j6 é 7 - j6:
(22 + j46)(7 - j6)(7 + j6)(7 - j6)

Passo 5

Vamos resolver o denominador primeiro:
(7 + j6)(7 - j6) = 7^2 - (j6)^2 = 49 - (j^2)(36) = 49 - (-36) = 49 + 36 = 85

Passo 6

Agora, vamos multiplicar o numerador:
(22 + j46)(7 - j6) = 22 cdot 7 + 22 cdot (-j6) + j46 cdot 7 + j46 cdot (-j6)
= 154 - j132 + j322 - j^2 276
= 154 - j132 + j322 + 276 (pois j^2 = -1)
= (154 + 276) + j(322 - 132) = 430 + j190

Passo 7

Finalmente, dividimos o numerador pelo denominador:
430 + j19085 = 43085 + j19085 = 5,0588 + j2,2353
Arredondando:
approx 5,06 + j2,24

Resposta

O valor de Z1 cdot Z2Z1+Z2 é aproximadamente 5,06 + j2,24.

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