Para cada um dos item abaixo determinar
a. lang<= u, vrang<=
b. |u|,|v|
c. O ângulo entre u e v
i. V=R^3, com o produto interno usual, u=(1,2,1) e v=(3,4,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede pra gente determinar três coisas sobre dois vetores no espaço tridimensional: o produto interno lang<= u, vrang<=, as normas |u| e |v|, e o ângulo entre eles. Para isso, vamos usar as fórmulas de produto interno, norma de vetor e a relação entre o produto interno e o ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto interno lang<= u, vrang<=. No espaço R^3, o produto interno de dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é dado por:
lang<= u, vrang<= = u1v1 + u2v2 + u3v3
Para nossos vetores u = (1, 2, 1) e v = (3, 4, 2), temos:
lang<= u, vrang<= = (1)(3) + (2)(4) + (1)(2) = 3 + 8 + 2 = 13

Passo 3

Agora, vamos calcular as normas dos vetores |u| e |v|. A norma de um vetor u = (u1, u2, u3) é dada por:
|u| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2
Para o vetor u = (1, 2, 1):
|u| = raiz1^2 + 2^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6 approx 2,45
E para o vetor v = (3, 4, 2):
|v| = raiz3^2 + 4^2 + 2^2 = raiz9 + 16 + 4 = raiz29 approx 5,39

Passo 4

Por fim, vamos encontrar o ângulo entre os vetores u e v. A relação entre o produto interno e o ângulo theta é:
cos(theta) = lang<= u, vrang<=|u| |v|
Já calculamos lang<= u, vrang<= = 13, |u| approx 2,45 e |v| approx 5,39. Então:
cos(theta) = 132,45 times 5,39 approx 1313,21 approx 0,984
Para achar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno:
theta = arccos(0,984) approx 10^circ

Resposta

a. lang<= u, vrang<= = 13
b. |u| approx 2,45 e |v| approx 5,39
c. O ângulo entre u e v é aproximadamente 10^circ

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