Determinar uma base ortonormal para cada um dos subespaços vetoriais
do espaço com produto interno
abaixo, utilizando o processo de Gram-Schmidt.
c.
matrizes de ordem 2
, com o produto interno
.
c.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma base ortonormal para o subespaço
dentro do espaço
das matrizes 2x2, usando o processo de Gram-Schmidt. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base ortonormal e como o processo de Gram-Schmidt funciona para transformar um conjunto de vetores (nesse caso, matrizes) em uma base onde todos os vetores são mutuamente ortogonais e com norma igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos listar as matrizes que formam o subespaço
:
Nosso objetivo é aplicar o processo de Gram-Schmidt nessas matrizes para obter uma base ortonormal.
Passo 3
Vamos começar com a primeira matriz
:
A primeira etapa do Gram-Schmidt é normalizar
. Para isso, calculamos a norma de
usando o produto interno dado:
Calculando
:
Como a norma já é 1, a primeira matriz da nossa base ortonormal é:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda matriz
:
O próximo passo é tornar
ortogonal a
. Para isso, calculamos a projeção de
em
:
Calculando
:
Então, a projeção é zero e já temos que
é ortogonal a
. Agora, normalizamos
:
Portanto, a segunda matriz da base é:
Passo 5
Por fim, vamos para a terceira matriz
:
Primeiro, precisamos torná-la ortogonal aos vetores já obtidos (
e
). Calculamos as projeções de
em
e
:
Calculando
:
Agora, calculamos
:
Calculando
:
Então,
Agora subtraímos as projeções de
:
Agora, normalizamos
:
Portanto, a terceira matriz da base é:
Resposta
A base ortonormal para o subespaço
é composta pelas seguintes matrizes: