Determinar uma base ortonormal para cada um dos subespaços vetoriais W do espaço com produto interno V abaixo, utilizando o processo de Gram-Schmidt.
c. V= matrizes de ordem 2 , com o produto interno lang<= A, Brang<==tr(A^t B), W= [[ll1 & 0 0 & 0],[ll0 & 1 0 & 1],[ll0 & 0 1 & 1]].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma base ortonormal para o subespaço dentro do espaço das matrizes 2x2, usando o processo de Gram-Schmidt. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base ortonormal e como o processo de Gram-Schmidt funciona para transformar um conjunto de vetores (nesse caso, matrizes) em uma base onde todos os vetores são mutuamente ortogonais e com norma igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as matrizes que formam o subespaço W = 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 0 & 1 , 0 & 0 1 & 1 :
Nosso objetivo é aplicar o processo de Gram-Schmidt nessas matrizes para obter uma base ortonormal.

Passo 3

Vamos começar com a primeira matriz u1 = 1 & 0 0 & 0 :
lang<= A, B rang<= = tr(A^t B)
A primeira etapa do Gram-Schmidt é normalizar lang<= u1, u1 rang<= = tr( 1 & 0 0 & 0 ^t 1 & 0 0 & 0 ) = tr( 1 & 0 0 & 0 ) = 1 + 0 = 1 . Para isso, calculamos a norma de v1 = u1 = 1 & 0 0 & 0 usando o produto interno dado:
Calculando :
Como a norma já é 1, a primeira matriz da nossa base ortonormal é:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda matriz u2 = 0 & 1 0 & 1 :
projv1(u2) = lang<= u2, v1 rang<=lang<= v1, v1 rang<= v1
O próximo passo é tornar lang<= u2, v1 rang<= = tr( 0 & 1 0 & 1 ^t 1 & 0 0 & 0 ) = tr( 0 & 0 1 & 0 ) = 0 + 0 = 0 ortogonal a lang<= u2, u2 rang<= = tr( 0 & 1 0 & 1 ^t 0 & 1 0 & 1 ) = tr( 0 & 0 1 & 2 ) = 0 + 2 = 2 . Para isso, calculamos a projeção de v2 = u2|u2| = 1raiz2 0 & 1 0 & 1 em :
Calculando :
Então, a projeção é zero e já temos que é ortogonal a . Agora, normalizamos :
Portanto, a segunda matriz da base é:

Passo 5

Por fim, vamos para a terceira matriz u3 = 0 & 0 1 & 1 :
projv1(u3) = lang<= u3, v1 rang<=lang<= v1, v1 rang<= v1
Primeiro, precisamos torná-la ortogonal aos vetores já obtidos ( lang<= u3, v1 rang<= = tr( 0 & 0 1 & 1 ^t 1 & 0 0 & 0 ) = tr( 0 & 0 1 & 0 ) = 0 + 0 = 0 e projv2(u3) = lang<= u3, v2 rang<=lang<= v2, v2 rang<= v2 ). Calculamos as projeções de lang<= u3, v2 rang<= = tr( 0 & 0 1 & 1 ^t 1raiz2 0 & 1 0 & 1 ) = 1raiz2 tr( 0 & 0 1 & 1 0 & 1 0 & 1 ) = 1raiz2 tr( 0 & 0 0 & 2 ) = 1raiz2 times 2 = raiz2 em projv2(u3) = raiz21 times 1raiz2 0 & 1 0 & 1 = 0 & 1 0 & 1 e w3 = u3 - projv1(u3) - projv2(u3) = 0 & 0 1 & 1 - 0 & 0 0 & 0 - 0 & 1 0 & 1 = 0 & -1 1 & 0 :
lang<= w3, w3 rang<= = tr( 0 & -1 1 & 0 ^t 0 & -1 1 & 0 ) = tr( 1 & 0 0 & 1 ) = 1 + 1 = 2
Calculando v3 = w3|w3| = 1raiz2 0 & -1 1 & 0 :
Agora, calculamos :
Calculando :
Então,
Agora subtraímos as projeções de :
Agora, normalizamos :
Portanto, a terceira matriz da base é:

Resposta

A base ortonormal para o subespaço v1 = 1 & 0 0 & 0 , v2 = 1raiz2 0 & 1 0 & 1 , v3 = 1raiz2 0 & -1 1 & 0 é composta pelas seguintes matrizes:

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