Determine uma equação quadrática em
e y que representa a elipse com focos nos pontos
e
e satisfazendo que a soma das distâncias de
aos dois focos é sempre igual a 6.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de Geometria Analítica, especificamente sobre elipses. A gente precisa encontrar a equação quadrática que representa uma elipse com dois focos dados,
e
, e a soma das distâncias de qualquer ponto
da elipse até esses focos é sempre 6. Para resolver isso, vamos usar as propriedades das elipses e algumas fórmulas básicas de distância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma elipse é o conjunto de todos os pontos onde a soma das distâncias até dois pontos fixos chamados focos é constante. Essa constante é igual a
, onde
é o semieixo maior da elipse. No nosso caso, essa soma é 6, então
, o que nos dá
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o centro da elipse. O centro está localizado no ponto médio entre os dois focos. Para achar isso, vamos calcular a média das coordenadas dos focos:
Então, o centro da elipse é em
.
Passo 4
Vamos determinar a distância entre os focos, que é chamada de
, onde
é a distância do centro a cada foco. Calculando a distância entre
e
:
Portanto,
.
Passo 5
Sabemos que, em uma elipse, a relação entre
,
(semieixo menor) e
é dada por:
Já temos
e
, então:
Passo 6
Agora que temos
,
e o centro da elipse, podemos escrever a equação padrão da elipse. Como os focos estão alinhados horizontalmente (mesma coordenada y), a equação será:
Onde
é o centro da elipse. Substituindo os valores:
Resposta
A equação quadrática que representa a elipse é: