Determine uma equação quadrática em x e y que representa a elipse com focos nos pontos F- 1=(-1,2) e F- 2=(3,2) e satisfazendo que a soma das distâncias de P= (x, y) aos dois focos é sempre igual a 6.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de Geometria Analítica, especificamente sobre elipses. A gente precisa encontrar a equação quadrática que representa uma elipse com dois focos dados, F-1=(-1,2) e F-2=(3,2), e a soma das distâncias de qualquer ponto P=(x, y) da elipse até esses focos é sempre 6. Para resolver isso, vamos usar as propriedades das elipses e algumas fórmulas básicas de distância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma elipse é o conjunto de todos os pontos onde a soma das distâncias até dois pontos fixos chamados focos é constante. Essa constante é igual a 2a, onde a é o semieixo maior da elipse. No nosso caso, essa soma é 6, então 2a = 6, o que nos dá a = 3.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o centro da elipse. O centro está localizado no ponto médio entre os dois focos. Para achar isso, vamos calcular a média das coordenadas dos focos:
Centro C = ( -1 + 32, 2 + 22 ) = (1, 2)
Então, o centro da elipse é em (1, 2).

Passo 4

Vamos determinar a distância entre os focos, que é chamada de 2c, onde c é a distância do centro a cada foco. Calculando a distância entre F-1=(-1,2) e F-2=(3,2):
2c = raiz(3 - (-1))^2 + (2 - 2)^2 = raiz4^2 + 0^2 = 4
Portanto, c = 2.

Passo 5

Sabemos que, em uma elipse, a relação entre a, b (semieixo menor) e c é dada por:
c^2 = a^2 - b^2
Já temos a = 3 e c = 2, então:
2^2 = 3^2 - b^2 Rightarrow 4 = 9 - b^2 Rightarrow b^2 = 5

Passo 6

Agora que temos a, b e o centro da elipse, podemos escrever a equação padrão da elipse. Como os focos estão alinhados horizontalmente (mesma coordenada y), a equação será:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Onde (h, k) é o centro da elipse. Substituindo os valores:
(x - 1)^29 + (y - 2)^25 = 1

Resposta

A equação quadrática que representa a elipse é:
(x - 1)^29 + (y - 2)^25 = 1

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