Verifique se o subconjunto
do espaço com produto interno
é ortogonal
c.
matrizes de ordem 2
, com o produto interno
c.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente quer verificar se o conjunto
de matrizes
é ortogonal em um espaço com produto interno definido por
. O conjunto
é formado por três matrizes específicas:
Para verificar se
é ortogonal, precisamos conferir se o produto interno entre cada par de matrizes diferentes em
é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o produto interno
. Aqui,
é a transposta da matriz
, e
representa a soma dos elementos da diagonal principal da matriz resultante.
Para duas matrizes serem ortogonais, o produto interno entre elas deve ser zero. Então, vamos calcular o produto interno entre cada par de matrizes em
.
Passo 3
Vamos chamar as matrizes de
e
para facilitar:
Primeiro, calculamos
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Então,
.
Passo 5
Por último, calculamos
:
Então,
.
Resposta
Como todos os produtos internos entre pares distintos de matrizes em
são iguais a zero, o conjunto
é ortogonal no espaço
.