Verifique se o subconjunto S do espaço com produto interno V é ortogonal
c. V= matrizes de ordem 2 , com o produto interno lang<= A, Brang<==tr(A^t B), S= [ll1 & 0 0 & 0],[ll0 & 1 0 & 1],[ll0 & 0 1 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente quer verificar se o conjunto S = 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 0 & 1 , 0 & 0 1 & 0 de matrizes é ortogonal em um espaço com produto interno definido por . O conjunto é formado por três matrizes específicas:
Para verificar se é ortogonal, precisamos conferir se o produto interno entre cada par de matrizes diferentes em é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o produto interno . Aqui, é a transposta da matriz , e representa a soma dos elementos da diagonal principal da matriz resultante.
Para duas matrizes serem ortogonais, o produto interno entre elas deve ser zero. Então, vamos calcular o produto interno entre cada par de matrizes em .

Passo 3

Vamos chamar as matrizes de A1 = 1 & 0 0 & 0 , A2 = 0 & 1 0 & 1 , A3 = 0 & 0 1 & 0 e A1^t = A1 = 1 & 0 0 & 0 para facilitar:
A1^t A2 = 1 & 0 0 & 0 0 & 1 0 & 1 = 0 & 1 0 & 0
Primeiro, calculamos tr(A1^t A2) = 0 + 0 = 0 :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular A1^t A3 = 1 & 0 0 & 0 0 & 0 1 & 0 = 0 & 0 0 & 0 :
tr(A1^t A3) = 0 + 0 = 0
Então, .

Passo 5

Por último, calculamos A2^t = 0 & 0 1 & 1 :
A2^t A3 = 0 & 0 1 & 1 0 & 0 1 & 0 = 0 & 0 1 & 0
tr(A2^t A3) = 0 + 0 = 0
Então, .

Resposta

Como todos os produtos internos entre pares distintos de matrizes em são iguais a zero, o conjunto é ortogonal no espaço .

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