Para cada um dos item abaixo determinar
a.
b.
c. O ângulo entre
e
iii.
matrizes de ordem 2
, com o produto interno
.
a.
b.
c. O ângulo entre
iii.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui envolve produtos internos de matrizes. O conteúdo principal é Álgebra Linear, mais especificamente produto interno em espaços vetoriais de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o produto interno usando a fórmula da traça (trace), além de calcular normas e o ângulo entre as matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto interno ⟨A, B⟩. A definição dada é ⟨A, B⟩ = tr(AᵗB), onde tr representa a traça da matriz, que é a soma dos elementos da diagonal principal.
Então, vamos transpor a matriz A:
Agora, multiplicamos Aᵗ por B:
A traça dessa matriz é a soma dos elementos diagonais:
Então, ⟨A, B⟩ = 58.
Passo 3
Agora, vamos calcular as normas de A e B, que são ||A|| e ||B||. A norma de uma matriz é dada por:
Primeiro, calculamos ⟨A, A⟩:
Então,
Agora, calculamos ⟨B, B⟩:
A traça dessa matriz é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o ângulo entre as matrizes A e B. A fórmula para o ângulo θ é:
Já temos ⟨A, B⟩ = 58, ||A|| ≈ 12.845 e ||B|| ≈ 9.487. Então:
Para encontrar o ângulo θ, tiramos o arco cosseno:
Resposta
a. ⟨A, B⟩ = 58
b. ||A|| ≈ 12.845, ||B|| ≈ 9.487
c. O ângulo entre A e B é aproximadamente 61.2 graus
b. ||A|| ≈ 12.845, ||B|| ≈ 9.487
c. O ângulo entre A e B é aproximadamente 61.2 graus