Para cada um dos item abaixo determinar
a. lang<= u, vrang<=
b. |u|,|v|
c. O ângulo entre u e v
iii. V= matrizes de ordem 2 , com o produto interno lang<= A, Brang<== tr(A^t B), u=A=[cc1 & 2 4 & 12], v=B=[cc8 & -1 4 & 3].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui envolve produtos internos de matrizes. O conteúdo principal é Álgebra Linear, mais especificamente produto interno em espaços vetoriais de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o produto interno usando a fórmula da traça (trace), além de calcular normas e o ângulo entre as matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto interno ⟨A, B⟩. A definição dada é ⟨A, B⟩ = tr(AᵗB), onde tr representa a traça da matriz, que é a soma dos elementos da diagonal principal.
Então, vamos transpor a matriz A:
A^t = 1 & 4 2 & 12
Agora, multiplicamos Aᵗ por B:
A^t B = 1 & 4 2 & 12 8 & -1 4 & 3 = (1*8 + 4*4) & (1*(-1) + 4*3) (2*8 + 12*4) & (2*(-1) + 12*3) = 24 & 11 56 & 34
A traça dessa matriz é a soma dos elementos diagonais:
tr(A^t B) = 24 + 34 = 58
Então, ⟨A, B⟩ = 58.

Passo 3

Agora, vamos calcular as normas de A e B, que são ||A|| e ||B||. A norma de uma matriz é dada por:
||A|| = raizlang<= A, A rang<=
||B|| = raizlang<= B, B rang<=
Primeiro, calculamos ⟨A, A⟩:
A^t A = 1 & 4 2 & 12 1 & 2 4 & 12 = (1*1 + 4*4) & (1*2 + 4*12) (2*1 + 12*4) & (2*2 + 12*12) = 17 & 50 50 & 148
Então,
tr(A^t A) = 17 + 148 = 165
||A|| = raiz165 approx 12.845
Agora, calculamos ⟨B, B⟩:
B^t B = 8 & 4 -1 & 3 8 & -1 4 & 3 = (8*8 + 4*4) & (8*(-1) + 4*3) (-1*8 + 3*4) & (-1*(-1) + 3*3) = 80 & 4 4 & 10
A traça dessa matriz é:
tr(B^t B) = 80 + 10 = 90
||B|| = raiz90 approx 9.487

Passo 4

Agora, vamos encontrar o ângulo entre as matrizes A e B. A fórmula para o ângulo θ é:
cos(theta) = lang<= A, B rang<=||A|| , ||B||
Já temos ⟨A, B⟩ = 58, ||A|| ≈ 12.845 e ||B|| ≈ 9.487. Então:
cos(theta) = 5812.845 times 9.487 approx 58121.66 approx 0.4767
Para encontrar o ângulo θ, tiramos o arco cosseno:
theta = arccos(0.4767) approx 61.2^circ

Resposta

a. ⟨A, B⟩ = 58
b. ||A|| ≈ 12.845, ||B|| ≈ 9.487
c. O ângulo entre A e B é aproximadamente 61.2 graus

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