Verifique se T: R^4 R^4 dado por T(x, y, z, t)=(x+y, y, 2 z+t, 2 z+t) é diagonalizável. Em caso afirmativo descreva a matriz diagonal e os autoespaços de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é verificar se essa transformação é diagonalizável. Para isso, vamos precisar entender sobre matrizes de transformação, autovalores, autovetores e espaços próprios.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz associada a A = 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & 2 & 1 na base canônica. Isso significa que aplicamos nos vetores padrão de e montamos a matriz com os resultados.
Os vetores padrão são:
,
,
,
.
Aplicando em cada um:
Então, a matriz de é:

Passo 3

Agora, vamos achar os autovalores de A - lambda I = 1-lambda & 1 & 0 & 0 0 & 1-lambda & 0 & 0 0 & 0 & 2-lambda & 1 0 & 0 & 2 & 1-lambda . Para isso, resolvemos o determinante det(A - lambda I) = (1-lambda)^2 cdot det 2-lambda & 1 2 & 1-lambda , onde = (1-lambda)^2 cdot [(2-lambda)(1-lambda) - 2 cdot 1] é a matriz identidade.
A matriz = (1-lambda)^2 cdot [(2 - lambda - 2lambda + lambda^2) - 2] fica:
= (1-lambda)^2 cdot (lambda^2 - 3lambda)
Calculando o determinante, percebemos que a matriz é triangular em blocos, então:
= (1-lambda)^2 cdot lambda (lambda - 3)
Então, os autovalores são (com multiplicidade 2), e .

Passo 4

Para a matriz ser diagonalizável, precisamos que a soma das multiplicidades geométricas (dimensões dos espaços próprios) seja igual à dimensão do espaço, que aqui é 4. Ou seja, precisamos que cada autovalor tenha seu espaço próprio de dimensão igual à sua multiplicidade algébrica.
Vamos verificar cada caso:
Autovalor A - I = 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 2 & 0 :
Resolvemos :
Resolvendo o sistema, temos:
  • e implica e
Portanto, os vetores próprios são da forma , ou seja, o espaço próprio é gerado por . Assim, a multiplicidade geométrica de é 1, mas sua multiplicidade algébrica é 2. Isso já indica que a matriz não é diagonalizável.

Passo 5

Mesmo que já tenhamos concluído que a matriz não é diagonalizável, vamos checar os outros autovalores para completar.
Autovalor A = 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & 2 & 1 :
Resolvemos A - 3I = -2 & 1 & 0 & 0 0 & -2 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 1 0 & 0 & 2 & -2 :
Isso leva ao sistema:
Solução: , , e . Então, vetores próprios são da forma , ou seja, gerados por . Multiplicidade geométrica é 1.
Autovalor :
Resolvemos :
Resolvendo o sistema, temos:
  • As últimas equações redundam.
Então, vetores próprios são da forma , ou seja, gerados por e . Multiplicidade geométrica é 2.

Resposta

Não, a transformação não é diagonalizável porque o autovalor não possui multiplicidade geométrica igual à sua multiplicidade algébrica. Portanto, não conseguimos encontrar uma matriz diagonal para nem descrever completamente os autoespaços necessários para a diagonalização.

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