Verifique se dado por é diagonalizável. Em caso afirmativo descreva a matriz diagonal e os autoespaços de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é verificar se essa transformação é diagonalizável. Para isso, vamos precisar entender sobre matrizes de transformação, autovalores, autovetores e espaços próprios.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz associada a na base canônica. Isso significa que aplicamos nos vetores padrão de e montamos a matriz com os resultados.
Os vetores padrão são: , , , .
Aplicando em cada um:
Então, a matriz de é:
Passo 3
Agora, vamos achar os autovalores de A - lambda I = 1-lambda & 1 & 0 & 0 0 & 1-lambda & 0 & 0 0 & 0 & 2-lambda & 1 0 & 0 & 2 & 1-lambda . Para isso, resolvemos o determinante det(A - lambda I) = (1-lambda)^2 cdot det 2-lambda & 1 2 & 1-lambda , onde = (1-lambda)^2 cdot [(2-lambda)(1-lambda) - 2 cdot 1] é a matriz identidade.
Calculando o determinante, percebemos que a matriz é triangular em blocos, então:
= (1-lambda)^2 cdot lambda (lambda - 3)
Então, os autovalores são (com multiplicidade 2), e .
Passo 4
Para a matriz ser diagonalizável, precisamos que a soma das multiplicidades geométricas (dimensões dos espaços próprios) seja igual à dimensão do espaço, que aqui é 4. Ou seja, precisamos que cada autovalor tenha seu espaço próprio de dimensão igual à sua multiplicidade algébrica.
Portanto, os vetores próprios são da forma , ou seja, o espaço próprio é gerado por . Assim, a multiplicidade geométrica de é 1, mas sua multiplicidade algébrica é 2. Isso já indica que a matriz não é diagonalizável.
Passo 5
Mesmo que já tenhamos concluído que a matriz não é diagonalizável, vamos checar os outros autovalores para completar.
Solução: , , e . Então, vetores próprios são da forma , ou seja, gerados por . Multiplicidade geométrica é 1.
Autovalor :
Resolvemos :
Resolvendo o sistema, temos:
→
→
As últimas equações redundam.
Então, vetores próprios são da forma , ou seja, gerados por e . Multiplicidade geométrica é 2.
Resposta
Não, a transformação não é diagonalizável porque o autovalor não possui multiplicidade geométrica igual à sua multiplicidade algébrica. Portanto, não conseguimos encontrar uma matriz diagonal para nem descrever completamente os autoespaços necessários para a diagonalização.