Resolva os seguintes sistemas lineares homogêneos:
a)
b) 3 x+2 y-12 z & =0 x-y+z & =0 2 x-3 y+5 z & =0
c) rx1+3 x2+x4=0 x1+4 x2+2 x3=0 -2 x2-2 x3-x4=0 2 x1-4 x2+x3+x4=0 x1-2 x2-x3+x4=0
d) 3 x+2 y-12 z & =0 x-y+z & =0 2 x-3 y+5 z & =0
Passo 1
Beleza, vamos resolver o sistema linear homogêneo que foi proposto! O enunciado é o seguinte:
2x - y - 3z &= 0 - x + 2y - 3z &= 0 x + y + 4z &= 0
Estamos lidando com sistemas de equações lineares homogêneos, onde todas as equações igualam a zero. Para resolver, vamos precisar usar eliminação de variáveis e matrizes (mas de forma bem tranquila, sem complicação). Vamos juntos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos organizar o sistema de forma que seja fácil de trabalhar. Vou reescrever as equações para ficar mais claro:
2x - y - 3z = 0 (Equação 1) - x + 2y - 3z = 0 (Equação 2) x + y + 4z = 0 (Equação 3) çãçãçã
Nosso objetivo é encontrar valores de , e que satisfaçam todas as três equações ao mesmo tempo.
Passo 3
Vamos começar eliminando uma das variáveis para simplificar o sistema. Vamos tentar eliminar o -2x + 4y - 6z = 0 (Equação 2 mu. Para isso, podemos multiplicar a Equação 2 por 2 e somar com a Equação 1:
Agora, vamos simplificar a Equação 4 dividindo todos os termos por 3:
y - 3z = 0 (Equação 5) çã
Isso nos dá uma relação direta entre y = 3z e :
Então, conseguimos expressar em termos de !
Passo 5
Vamos usar essa relação para substituir x + y + 4z = 0 em uma das equações originais e encontrar x + 3z + 4z = 0 x + 7z = 0 x = -7z em termos de x = -7z . Vamos usar a Equação 3:
Substituindo :
Agora, temos em termos de :
Passo 6
Até aqui, conseguimos expressar x = -7z y = 3z z = z (livre) e em termos de . Vamos resumir:
Como estamos lidando com um sistema homogêneo, sempre existe a solução trivial . Mas também existem soluções não triviais, onde as variáveis são múltiplos de um parâmetro livre, que neste caso escolhemos como .
Passo 7
Para expressar a solução de forma completa, podemos parametrizar usando um parâmetro x = -7t y = 3t z = t onde . Assim, as soluções do sistema são:
Isso significa que qualquer valor de gera uma solução do sistema.
Resposta
As soluções do sistema são todas as tripletas x = -7t y = 3t z = t onde t in R tais que:
Ou seja, a solução geral é para qualquer número real .