Em cada item abaixo, determine uma equação vetorial, equações paramétricas e uma equação geral para os planos descritos:
(a) contém os pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação vetorial, as equações paramétricas e a equação geral de um plano que contém os pontos , e . Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica no espaço, como vetores e produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso encontrando os vetores AB e AC, que são formados pelos pontos dados.
Calculando os vetores:

Passo 3

Agora, para encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ele, vamos calcular o produto vetorial entre e .
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 4

A equação vetorial do plano pode ser escrita usando o ponto e os vetores e :
Substituindo os valores:
Onde e são parâmetros reais que variam.

Passo 5

As equações paramétricas do plano são obtidas separando cada componente da equação vetorial:
Então, as equações paramétricas são:

Passo 6

Por fim, vamos encontrar a equação geral do plano usando o vetor normal e o ponto .
A equação geral do plano é dada por:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por -1 para deixar a equação mais bonita:

Resposta

Equação vetorial:
Equações paramétricas:
Equação geral do plano:

Exercícios relacionados

Seja a transformação linear que satisfaz: е .
Determine a matriz tal que .
A entrada da matriz vale:
(A) -8
(B) -7
© -6
(D) -5
(E) -4
(F) -3
(G) -2
(H) -1
(I) Não sei
(a) expresse cada vetor coluna de como uma combinação linear dos vetores coluna de .
(b) expresse cada vetor coluna de como uma combinação linear dos vetores coluna de .
Seja uma matrix .
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se tem solução única para todo , então .
II - Se para algum o sistema tem solução única, então Ker .
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
Sejam e
Calcule , a projeção ortogonal de sobre . O valor de , a entrada de , é:
Dica: Projete em . Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1 (B) 2 © 3 (D) 4 (E) 5 (F) 6 (G) 7 (H) 8 (I) Não sei