Em cada item abaixo, determine uma equação vetorial, equações paramétricas e uma equação geral para os planos descritos:
(a) contém os pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação vetorial, as equações paramétricas e a equação geral de um plano que contém os pontos , e . Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica no espaço, como vetores e produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso encontrando os vetores AB e AC, que são formados pelos pontos dados.
Calculando os vetores:
Passo 3
Agora, para encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ele, vamos calcular o produto vetorial entre e .
Então, o vetor normal ao plano é .
Passo 4
A equação vetorial do plano pode ser escrita usando o ponto e os vetores e :
Substituindo os valores:
Onde e são parâmetros reais que variam.
Passo 5
As equações paramétricas do plano são obtidas separando cada componente da equação vetorial:
Então, as equações paramétricas são:
Passo 6
Por fim, vamos encontrar a equação geral do plano usando o vetor normal e o ponto .
A equação geral do plano é dada por:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por -1 para deixar a equação mais bonita: