Em cada item abaixo, determine uma equação vetorial, equações paramétricas e uma equação geral para os planos descritos:
(a) contém os pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação vetorial, as equações paramétricas e a equação geral de um plano que contém os pontos , e . Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica no espaço, como vetores e produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso encontrando os vetores AB e AC, que são formados pelos pontos dados.
Calculando os vetores:
Passo 3
Agora, para encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ele, vamos calcular o produto vetorial entre e .
n = (-3, , 1, , -1)
Então, o vetor normal ao plano é .
Passo 4
A equação vetorial do plano pode ser escrita usando o ponto r = A + sAB + tAC e os vetores r = (1, , 0, , 1) + s(1, , 1, , -2) + t(0, , -1, , -1) e :
Substituindo os valores:
Onde e são parâmetros reais que variam.
Passo 5
As equações paramétricas do plano são obtidas separando cada componente da equação vetorial:
x = 1 + s cdot 1 + t cdot 0 = 1 + s
y = 0 + s cdot 1 + t cdot (-1) = s - t
z = 1 + s cdot (-2) + t cdot (-1) = 1 - 2s - t
Então, as equações paramétricas são:
x = 1 + s y = s - t z = 1 - 2s - t
Passo 6
Por fim, vamos encontrar a equação geral do plano usando o vetor normal -3(x - 1) + 1(y - 0) -1(z - 1) = 0 e o ponto -3x + 3 + y - z + 1 = 0 .
A equação geral do plano é dada por:
-3x + y - z + 4 = 0
Simplificando:
3x - y + z = 4
Multiplicando todos os termos por -1 para deixar a equação mais bonita: