Em cada item abaixo, determine uma equação vetorial, equações paramétricas e uma equação geral para os planos descritos:
(a) pi contém os pontos A=(1,0,1), B=(2,1,-1) e C=(1,-1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação vetorial, as equações paramétricas e a equação geral de um plano que contém os pontos , e . Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica no espaço, como vetores e produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso encontrando os vetores AB e AC, que são formados pelos pontos dados.
Calculando os vetores:
AB = B - A = (2-1, , 1-0, , -1-1) = (1, , 1, , -2)
AC = C - A = (1-1, , -1-0, , 0-1) = (0, , -1, , -1)

Passo 3

Agora, para encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ele, vamos calcular o produto vetorial entre n = AB times AC = i & j & k 1 & 1 & -2 0 & -1 & -1 e n = i(1 cdot (-1) - (-2) cdot (-1)) - j(1 cdot (-1) - (-2) cdot 0) + k(1 cdot (-1) - 1 cdot 0) .
n = i(-1 - 2) - j(-1 - 0) + k(-1 - 0)
n = (-3, , 1, , -1)
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 4

A equação vetorial do plano pode ser escrita usando o ponto r = A + sAB + tAC e os vetores r = (1, , 0, , 1) + s(1, , 1, , -2) + t(0, , -1, , -1) e :
Substituindo os valores:
Onde e são parâmetros reais que variam.

Passo 5

As equações paramétricas do plano são obtidas separando cada componente da equação vetorial:
x = 1 + s cdot 1 + t cdot 0 = 1 + s
y = 0 + s cdot 1 + t cdot (-1) = s - t
z = 1 + s cdot (-2) + t cdot (-1) = 1 - 2s - t
Então, as equações paramétricas são:
x = 1 + s y = s - t z = 1 - 2s - t

Passo 6

Por fim, vamos encontrar a equação geral do plano usando o vetor normal -3(x - 1) + 1(y - 0) -1(z - 1) = 0 e o ponto -3x + 3 + y - z + 1 = 0 .
A equação geral do plano é dada por:
-3x + y - z + 4 = 0
Simplificando:
3x - y + z = 4
Multiplicando todos os termos por -1 para deixar a equação mais bonita:

Resposta

Equação vetorial:
r = (1, , 0, , 1) + s(1, , 1, , -2) + t(0, , -1, , -1)
Equações paramétricas:
x = 1 + s y = s - t z = 1 - 2s - t
Equação geral do plano:
3x - y + z = 4

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