Seja uma matrix .
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se tem solução única para todo , então .
II - Se para algum o sistema tem solução única, então Ker .
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos uma matriz de tamanho e duas afirmações sobre as soluções do sistema linear . Nosso objetivo é verificar quais dessas afirmações são verdadeiras. Para isso, vamos precisar entender conceitos como solução única de sistemas lineares, dimensões das matrizes, e o núcleo (ou kernel) de uma matriz.

Passo 2

Vamos começar analisando a Afirmação I:
“Se tem solução única para todo , então .”
Para que o sistema tenha uma solução única para qualquer vetor , a matriz precisa ser invertível. Uma matriz só é invertível se for quadrada, ou seja, se o número de linhas for igual ao número de colunas . Além disso, deve ter posto completo, o que significa que seu posto .
Portanto, a Afirmação I é verdadeira porque a condição de ter uma solução única para todo implica que é uma matriz quadrada e invertível, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos para a Afirmação II:
“Se para algum o sistema tem solução única, então .”
O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores que satisfazem . Se existir uma solução única para algum , isso significa que não há outros vetores além da solução trivial no núcleo de . Se contivesse algum vetor diferente de zero, poderíamos adicionar esse vetor à solução única e obteríamos infinitas soluções, o que contraria a ideia de unicidade.
Portanto, a Afirmação II também é verdadeira porque a existência de uma solução única para algum implica que o núcleo de contém apenas o vetor zero.

Resposta

(B) Todas são verdadeiras.

Exercícios relacionados

Em cada item abaixo, determine uma equação vetorial, equações paramétricas e uma equação geral para os planos descritos:
(a) contém os pontos e .
Seja a transformação linear que satisfaz: е .
Determine a matriz tal que .
A entrada da matriz vale:
(A) -8
(B) -7
© -6
(D) -5
(E) -4
(F) -3
(G) -2
(H) -1
(I) Não sei
Sejam e
Calcule , a projeção ortogonal de sobre . O valor de , a entrada de , é:
Dica: Projete em . Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1 (B) 2 © 3 (D) 4 (E) 5 (F) 6 (G) 7 (H) 8 (I) Não sei
Encontre três vetores em que sejam linearmente dependentes, de modo que quaisquer dois deles são linearmente independentes.