Seja A uma matrix m times n.
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se A x=b tem solução única para todo b in R^m, então m=n.
II - Se para algum b in R^m o sistema A x=b tem solução única, então Ker A=0.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos uma matriz de tamanho e duas afirmações sobre as soluções do sistema linear . Nosso objetivo é verificar quais dessas afirmações são verdadeiras. Para isso, vamos precisar entender conceitos como solução única de sistemas lineares, dimensões das matrizes, e o núcleo (ou kernel) de uma matriz.

Passo 2

Vamos começar analisando a Afirmação I:
“Se tem solução única para todo , então .”
Para que o sistema tenha uma solução única para qualquer vetor , a matriz precisa ser invertível. Uma matriz só é invertível se for quadrada, ou seja, se o número de linhas for igual ao número de colunas . Além disso, deve ter posto completo, o que significa que seu posto .
Portanto, a Afirmação I é verdadeira porque a condição de ter uma solução única para todo implica que é uma matriz quadrada e invertível, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos para a Afirmação II:
“Se para algum o sistema tem solução única, então .”
O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores que satisfazem . Se existir uma solução única para algum , isso significa que não há outros vetores além da solução trivial no núcleo de . Se contivesse algum vetor diferente de zero, poderíamos adicionar esse vetor à solução única e obteríamos infinitas soluções, o que contraria a ideia de unicidade.
Portanto, a Afirmação II também é verdadeira porque a existência de uma solução única para algum implica que o núcleo de contém apenas o vetor zero.

Resposta

(B) Todas são verdadeiras.

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