Seja
uma matrix
.
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
tem solução única para todo
, então
.
II - Se para algum
o sistema
tem solução única, então Ker
.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
II - Se para algum
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos uma matriz
de tamanho
e duas afirmações sobre as soluções do sistema linear
. Nosso objetivo é verificar quais dessas afirmações são verdadeiras. Para isso, vamos precisar entender conceitos como solução única de sistemas lineares, dimensões das matrizes, e o núcleo (ou kernel) de uma matriz.
Passo 2
Vamos começar analisando a Afirmação I:
“Se
tem solução única para todo
, então
.”
Para que o sistema
tenha uma solução única para qualquer vetor
, a matriz
precisa ser invertível. Uma matriz só é invertível se for quadrada, ou seja, se o número de linhas
for igual ao número de colunas
. Além disso, deve ter posto completo, o que significa que seu posto
.
Portanto, a Afirmação I é verdadeira porque a condição de ter uma solução única para todo
implica que
é uma matriz quadrada e invertível, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos para a Afirmação II:
“Se para algum
o sistema
tem solução única, então
.”
O núcleo de
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores
que satisfazem
. Se existir uma solução única para algum
, isso significa que não há outros vetores além da solução trivial no núcleo de
. Se
contivesse algum vetor diferente de zero, poderíamos adicionar esse vetor à solução única e obteríamos infinitas soluções, o que contraria a ideia de unicidade.
Portanto, a Afirmação II também é verdadeira porque a existência de uma solução única para algum
implica que o núcleo de
contém apenas o vetor zero.
Resposta
(B) Todas são verdadeiras.
Exercícios relacionados
Em cada item abaixo, determine uma equação vetorial, equações paramétricas e uma equação geral para os planos descritos:
(a) contém os pontos
e
.
(a)
Seja
a transformação linear que satisfaz:
е
.
Determine a matriz tal que
.
A entrada da matriz
vale:
(A) -8
(B) -7
© -6
(D) -5
(E) -4
(F) -3
(G) -2
(H) -1
(I) Não sei
Determine a matriz
A entrada
(A) -8
(B) -7
© -6
(D) -5
(E) -4
(F) -3
(G) -2
(H) -1
(I) Não sei
Sejam
e
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
. O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1 (B) 2 © 3 (D) 4 (E) 5 (F) 6 (G) 7 (H) 8 (I) Não sei
Dica: Projete
(A) 1 (B) 2 © 3 (D) 4 (E) 5 (F) 6 (G) 7 (H) 8 (I) Não sei
Encontre três vetores em
que sejam linearmente dependentes, de modo que quaisquer dois deles são linearmente independentes.