Seja
uma matrix
.
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
tem solução única para todo
, então
.
II - Se para algum
o sistema
tem solução única, então Ker
.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
II - Se para algum
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos uma matriz
de tamanho
e duas afirmações sobre as soluções do sistema linear
. Nosso objetivo é verificar quais dessas afirmações são verdadeiras. Para isso, vamos precisar entender conceitos como solução única de sistemas lineares, dimensões das matrizes, e o núcleo (ou kernel) de uma matriz.
Passo 2
Vamos começar analisando a Afirmação I:
“Se
tem solução única para todo
, então
.”
Para que o sistema
tenha uma solução única para qualquer vetor
, a matriz
precisa ser invertível. Uma matriz só é invertível se for quadrada, ou seja, se o número de linhas
for igual ao número de colunas
. Além disso, deve ter posto completo, o que significa que seu posto
.
Portanto, a Afirmação I é verdadeira porque a condição de ter uma solução única para todo
implica que
é uma matriz quadrada e invertível, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos para a Afirmação II:
“Se para algum
o sistema
tem solução única, então
.”
O núcleo de
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores
que satisfazem
. Se existir uma solução única para algum
, isso significa que não há outros vetores além da solução trivial no núcleo de
. Se
contivesse algum vetor diferente de zero, poderíamos adicionar esse vetor à solução única e obteríamos infinitas soluções, o que contraria a ideia de unicidade.
Portanto, a Afirmação II também é verdadeira porque a existência de uma solução única para algum
implica que o núcleo de
contém apenas o vetor zero.
Resposta
(B) Todas são verdadeiras.