Sejam
e
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
. O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1 (B) 2 © 3 (D) 4 (E) 5 (F) 6 (G) 7 (H) 8 (I) Não sei
Dica: Projete
(A) 1 (B) 2 © 3 (D) 4 (E) 5 (F) 6 (G) 7 (H) 8 (I) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um vetor
e um subespaço
definido pelas soluções da equação
no espaço
. Nosso objetivo é encontrar a projeção ortogonal de
sobre
, que vamos chamar de
. Especificamente, queremos descobrir o valor da terceira entrada de
, ou seja,
. Para isso, vamos utilizar conceitos de projeção vetorial e espaços ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
é um subespaço de
definido por uma única equação linear, o que significa que
tem dimensão 3. O complemento ortogonal de
, chamado
, é formado por todos os vetores que são perpendiculares a
. Para encontrar
, precisamos identificar o vetor normal à equação de
, que é dado pelos coeficientes das variáveis na equação:
.
Passo 3
Agora, vamos projetar
em
. A fórmula para a projeção de
em
é:
Calculando os produtos internos:
Então,
Passo 4
A projeção de
em
é dada por:
Então, a terceira entrada de
, que é
, é igual a 6.
Resposta
(F) 6