Sejam v=(-3,-3,10,4) e
H=(x, y, z, w) in R^4 mid x-3 y+2 z+w=0
Calcule w=PH v, a projeção ortogonal de v sobre H. O valor de w3, a 3^ a entrada de w, é:
Dica: Projete v em H^perp. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1 (B) 2 © 3 (D) 4 (E) 5 (F) 6 (G) 7 (H) 8 (I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um vetor v=(-3, -3, 10, 4) e um subespaço H definido pelas soluções da equação x - 3y + 2z + w = 0 no espaço R^4. Nosso objetivo é encontrar a projeção ortogonal de v sobre H, que vamos chamar de w = PH v. Especificamente, queremos descobrir o valor da terceira entrada de w, ou seja, w3. Para isso, vamos utilizar conceitos de projeção vetorial e espaços ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que H é um subespaço de R^4 definido por uma única equação linear, o que significa que H tem dimensão 3. O complemento ortogonal de H, chamado H^perp, é formado por todos os vetores que são perpendiculares a H. Para encontrar H^perp, precisamos identificar o vetor normal à equação de H, que é dado pelos coeficientes das variáveis na equação: n = (1, -3, 2, 1).

Passo 3

Agora, vamos projetar v em H^perp. A fórmula para a projeção de v em n é:
Projn v = ( v cdot nn cdot n ) n
Calculando os produtos internos:
v cdot n = (-3)(1) + (-3)(-3) + (10)(2) + (4)(1) = -3 + 9 + 20 + 4 = 30
n cdot n = 1^2 + (-3)^2 + 2^2 + 1^2 = 1 + 9 + 4 + 1 = 15
Então,
Projn v = ( 3015 ) n = 2 cdot (1, -3, 2, 1) = (2, -6, 4, 2)

Passo 4

A projeção de v em H é dada por:
w = v - Projn v = (-3, -3, 10, 4) - (2, -6, 4, 2) = (-5, 3, 6, 2)
Então, a terceira entrada de w, que é w3, é igual a 6.

Resposta

(F) 6

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