Sejam e
Calcule , a projeção ortogonal de sobre . O valor de , a entrada de , é:
Dica: Projete em . Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1 (B) 2 © 3 (D) 4 (E) 5 (F) 6 (G) 7 (H) 8 (I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um vetor e um subespaço definido pelas soluções da equação no espaço . Nosso objetivo é encontrar a projeção ortogonal de sobre , que vamos chamar de . Especificamente, queremos descobrir o valor da terceira entrada de , ou seja, . Para isso, vamos utilizar conceitos de projeção vetorial e espaços ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é um subespaço de definido por uma única equação linear, o que significa que tem dimensão 3. O complemento ortogonal de , chamado , é formado por todos os vetores que são perpendiculares a . Para encontrar , precisamos identificar o vetor normal à equação de , que é dado pelos coeficientes das variáveis na equação: .

Passo 3

Agora, vamos projetar em . A fórmula para a projeção de em é:
Calculando os produtos internos:
Então,

Passo 4

A projeção de em é dada por:
Então, a terceira entrada de , que é , é igual a 6.

Resposta

(F) 6

Exercícios relacionados

Seja uma matrix .
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se tem solução única para todo , então .
II - Se para algum o sistema tem solução única, então Ker .
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
Em cada item abaixo, determine uma equação vetorial, equações paramétricas e uma equação geral para os planos descritos:
(a) contém os pontos e .
Encontre três vetores em que sejam linearmente dependentes, de modo que quaisquer dois deles são linearmente independentes.