Seja a transformação linear que satisfaz: е .
Determine a matriz tal que .
A entrada da matriz vale:
(A) -8
(B) -7
© -6
(D) -5
(E) -4
(F) -3
(G) -2
(H) -1
(I) Não sei

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma transformação linear que transforma vetores do plano para o espaço . O enunciado nos dá duas imagens específicas dessa transformação:
O que a gente precisa encontrar é a matriz que representa essa transformação, de forma que . E mais especificamente, queremos descobrir o valor da entrada dessa matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a matriz funciona. Ela tem o formato:
Quando multiplicamos pelo vetor , a transformação fica assim:

Passo 3

Agora, vamos usar as duas informações que a gente tem para montar um sistema de equações. Primeiro, considerando :
Simplificando, temos:

Passo 4

Segunda informação: . Aplicando na transformação:
Simplificando:

Passo 5

Nos interessa apenas a entrada , então vamos focar nas equações relacionadas a ela:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Primeira, da equação (1):
Agora, substituímos na equação (2):
Expandindo:
Simplificando:

Passo 7

Isolando :

Resposta

O valor de é -8. ➡️ Opção (A)

Exercícios relacionados

(a) expresse cada vetor coluna de como uma combinação linear dos vetores coluna de .
(b) expresse cada vetor coluna de como uma combinação linear dos vetores coluna de .
Seja , .
A dimensão da imagem de é:
(A) 0
(B) 1
© 4
(D) 2
(E) 3
(F) Não sei
Em cada item abaixo, determine uma equação vetorial, equações paramétricas e uma equação geral para os planos descritos:
(a) contém os pontos e .
Seja uma matrix .
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se tem solução única para todo , então .
II - Se para algum o sistema tem solução única, então Ker .
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei