Vamos lá! A gente tem uma transformação linear que transforma vetores do plano para o espaço . O enunciado nos dá duas imagens específicas dessa transformação:
O que a gente precisa encontrar é a matriz que representa essa transformação, de forma que . E mais especificamente, queremos descobrir o valor da entrada dessa matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a matriz funciona. Ela tem o formato:
Quando multiplicamos pelo vetor , a transformação fica assim:
Passo 3
Agora, vamos usar as duas informações que a gente tem para montar um sistema de equações. Primeiro, considerando :
Simplificando, temos:
Passo 4
Segunda informação: . Aplicando na transformação:
Simplificando:
Passo 5
Nos interessa apenas a entrada , então vamos focar nas equações relacionadas a ela:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeira, da equação (1):