Seja T: R^2 R^3 a transformação linear que satisfaz: T(1,1)=(1,-2,2) е T(2,3)=(-2,2,-3).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A[lx y].
A entrada a21 da matriz A vale:
(A) -8
(B) -7
© -6
(D) -5
(E) -4
(F) -3
(G) -2
(H) -1
(I) Não sei

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma transformação linear x y que transforma vetores do plano para o espaço . O enunciado nos dá duas imagens específicas dessa transformação:
O que a gente precisa encontrar é a matriz que representa essa transformação, de forma que . E mais especificamente, queremos descobrir o valor da entrada dessa matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a matriz A = a11 & a12 a21 & a22 a31 & a32 funciona. Ela tem o formato:
x y
Quando multiplicamos T(x, y) = A x y = a11x + a12y a21x + a22y a31x + a32y pelo vetor , a transformação fica assim:

Passo 3

Agora, vamos usar as duas informações que a gente tem para montar um sistema de equações. Primeiro, considerando a11(1) + a12(1) = 1 a21(1) + a22(1) = -2 a31(1) + a32(1) = 2 :
a11 + a12 = 1 a21 + a22 = -2 a31 + a32 = 2
Simplificando, temos:

Passo 4

Segunda informação: a11(2) + a12(3) = -2 a21(2) + a22(3) = 2 a31(2) + a32(3) = -3 . Aplicando na transformação:
2a11 + 3a12 = -2 2a21 + 3a22 = 2 2a31 + 3a32 = -3
Simplificando:

Passo 5

Nos interessa apenas a entrada a21 + a22 = -2 (1) 2a21 + 3a22 = 2 (2) , então vamos focar nas equações relacionadas a ela:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Primeira, da equação (1):
a22 = -2 - a21
Agora, substituímos 2a21 + 3(-2 - a21) = 2 na equação (2):
2a21 - 6 - 3a21 = 2
Expandindo:
- a21 - 6 = 2
Simplificando:

Passo 7

Isolando - a21 = 2 + 6 - a21 = 8 a21 = -8 :

Resposta

O valor de é -8. ➡️ Opção (A)

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