(a) expresse cada vetor coluna de A B como uma combinação linear dos vetores coluna de A.
(b) expresse cada vetor coluna de B A como uma combinação linear dos vetores coluna de B.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas partes:
(a) Precisamos expressar cada coluna de como uma combinação linear das colunas de .
(b) Precisamos fazer o mesmo, mas para e as colunas de .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de multiplicação de matrizes e combinações lineares. Vamos precisar entender como as colunas de uma matriz resultante são formadas a partir das colunas das matrizes que estão sendo multiplicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a multiplicação de matrizes. Se temos duas matrizes e , o produto é uma nova matriz onde cada coluna de é formada por combinações lineares das colunas de , usando os elementos de como coeficientes.

Passo 3

Vamos detalhar a parte (a): expressar cada coluna de (AB)j = A cdot Bj = B1jA1 + B2jA2 + dots + BnjAn como uma combinação linear das colunas de .
Suponha que seja uma matriz de tamanho e de tamanho . Então, será uma matriz de tamanho .
A coluna de , denotada por , é obtida multiplicando pela coluna de , que chamaremos de .
Portanto, podemos escrever:
onde são as colunas de e são os elementos da matriz .

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b): expressar cada coluna de (BA)j = B cdot Aj = A1jB1 + A2jB2 + dots + AnjBn como uma combinação linear das colunas de .
Aqui, deve ser de tamanho e de tamanho , de modo que será uma matriz de tamanho .
A coluna de , denotada por , é obtida multiplicando pela coluna de , que chamaremos de .
Então, temos:
onde são as colunas de e são os elementos da matriz .

Resposta

(a) Cada coluna (AB)j = B1jA1 + B2jA2 + dots + BnjAn de (BA)j = A1jB1 + A2jB2 + dots + AnjBn pode ser expressa como:
(b) Cada coluna de pode ser expressa como:

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