(a) expresse cada vetor coluna de
como uma combinação linear dos vetores coluna de
.
(b) expresse cada vetor coluna de
como uma combinação linear dos vetores coluna de
.
(b) expresse cada vetor coluna de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas partes:
(a) Precisamos expressar cada coluna de como uma combinação linear das colunas de
.
(b) Precisamos fazer o mesmo, mas para e as colunas de
.
(a) Precisamos expressar cada coluna de
(b) Precisamos fazer o mesmo, mas para
Para resolver isso, vamos usar conceitos de multiplicação de matrizes e combinações lineares. Vamos precisar entender como as colunas de uma matriz resultante são formadas a partir das colunas das matrizes que estão sendo multiplicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a multiplicação de matrizes. Se temos duas matrizes
e
, o produto
é uma nova matriz onde cada coluna de
é formada por combinações lineares das colunas de
, usando os elementos de
como coeficientes.
Passo 3
Vamos detalhar a parte (a): expressar cada coluna de
como uma combinação linear das colunas de
.
Suponha que
seja uma matriz de tamanho
e
de tamanho
. Então,
será uma matriz de tamanho
.
A coluna
de
, denotada por
, é obtida multiplicando
pela coluna
de
, que chamaremos de
.
Portanto, podemos escrever:
onde
são as colunas de
e
são os elementos da matriz
.
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b): expressar cada coluna de
como uma combinação linear das colunas de
.
Aqui,
deve ser de tamanho
e
de tamanho
, de modo que
será uma matriz de tamanho
.
A coluna
de
, denotada por
, é obtida multiplicando
pela coluna
de
, que chamaremos de
.
Então, temos:
onde
são as colunas de
e
são os elementos da matriz
.
Resposta
(a) Cada coluna
de
pode ser expressa como:
(b) Cada coluna
de
pode ser expressa como: