Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de
no(s) ponto(s)
. Esboce os gráficos de
e das retas tangente e normal.
e
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função
no ponto onde
. Vamos usar conceitos de derivadas para isso, já que elas nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangente e normal.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de
. Substituindo
na função:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função
para determinar a inclinação da reta tangente no ponto
. A derivada de
é:
Passo 4
Vamos calcular a inclinação da reta tangente substituindo
na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é 1.
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente
e o ponto
, podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Então, a equação da reta tangente é
.
Passo 6
A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal
é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente. Então:
Passo 7
Usando a inclinação da reta normal
e o mesmo ponto
, aplicamos a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Então, a equação da reta normal é
.
Resposta
A reta tangente ao gráfico de
no ponto
é
e a reta normal é
.