Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de f no(s) ponto(s) (x0, f(x0)). Esboce os gráficos de f e das retas tangente e normal.
f(x) = x^2 - x e x0 = 1

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função no ponto onde . Vamos usar conceitos de derivadas para isso, já que elas nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangente e normal.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de . Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função para determinar a inclinação da reta tangente no ponto . A derivada de é:

Passo 4

Vamos calcular a inclinação da reta tangente substituindo na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é 1.

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente e o ponto , podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Então, a equação da reta tangente é .

Passo 6

A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente. Então:

Passo 7

Usando a inclinação da reta normal e o mesmo ponto , aplicamos a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Então, a equação da reta normal é .

Resposta

A reta tangente ao gráfico de no ponto é e a reta normal é .

Exercícios relacionados

Calcule f'(x0) pela definição, sendo dados:
f(x) = 2*x^3 - x^2 e x0 = 1
Em cada questão abaixo indique o valor do limite e/ou se o limite não existe, justificando sua resposta (Dica: Utilize os limite laterias para justificar a sua resposta).
lim x 4 f(x)=7 C.
Seja f(x) = { x^2, se x <= 0; 1, se x > 0 }. A função f é diferenciável em 0 ? Justifique. É contínua em 0 ? Justifique.
Em cada um dos itens abaixo, faça o esboço de um gráfico de uma função f que satisfaça as condições dadas. [Sugestão: você não precisa fornecer uma expressão para a função. Basta o esboço de um gráfico. Recorde que se f é diferenciável em x_0, então f'(x0) é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)].
f definida e diferenciável em R, com f'(1)=0.