Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de f no(s) ponto(s) (x0, f(x0)). Esboce os gráficos de f e das retas tangente e normal.
f(x) = x^2 - x e x0 = 1

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função no ponto onde . Vamos usar conceitos de derivadas para isso, já que elas nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangente e normal.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de . Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função para determinar a inclinação da reta tangente no ponto . A derivada de é:

Passo 4

Vamos calcular a inclinação da reta tangente substituindo na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é 1.

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente e o ponto , podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Então, a equação da reta tangente é .

Passo 6

A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente. Então:

Passo 7

Usando a inclinação da reta normal e o mesmo ponto , aplicamos a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Então, a equação da reta normal é .

Resposta

A reta tangente ao gráfico de no ponto é e a reta normal é .

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