Em cada um dos itens abaixo, faça o esboço de um gráfico de uma função
que satisfaça as condições dadas. [Sugestão: você não precisa fornecer uma expressão para a função. Basta o esboço de um gráfico. Recorde que se
é diferenciável em
, então
é a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
definida e diferenciável em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o gráfico de uma função
que é definida e diferenciável em todo o conjunto dos números reais (
), e que a derivada dessa função no ponto
é zero (
). Isso significa que no ponto
, a inclinação da reta tangente ao gráfico de
é horizontal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a derivada da função ser zero em
. A derivada
nos dá a inclinação da reta tangente ao gráfico da função no ponto
. Se
, isso indica que a reta tangente no ponto
é horizontal. Geometricamente, isso pode ser um ponto de máximo, mínimo ou um ponto de inflexão na curva.
Passo 3
Agora, para desenhar o gráfico de
, precisamos garantir que:
- A função está definida para todo
real. - A derivada existe em todos os pontos, incluindo
. - No ponto
, a reta tangente é horizontal.
Vamos imaginar uma curva suave que passa por
onde a inclinação é zero. Um exemplo simples seria uma parábola, que tem um ponto de mínimo ou máximo onde a derivada é zero.
Passo 4
Vamos esboçar uma parábola com vértice em
. Isso garantirá que a derivada em
seja zero. A curva sobe de um lado e desce do outro se for uma parábola voltada para baixo, ou desce de um lado e sobe do outro se for voltada para cima. Ambos os casos satisfazem as condições do enunciado.
Passo 5
Outra opção é uma função cúbica que tem um ponto de inflexão em
. Nesse caso, a derivada também será zero em
, mas a função continua seu aumento ou diminuição de inclinação antes e depois desse ponto.
Resposta
Portanto, um exemplo de gráfico que satisfaz as condições é uma parábola com vértice em
, onde a reta tangente no ponto
é horizontal.
Exercícios relacionados
Seja
. A função
é diferenciável em 0 ? Justifique. É contínua em 0 ? Justifique.
Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de
no(s) ponto(s)
. Esboce os gráficos de
e das retas tangente e normal.
e
Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de
no(s) ponto(s)
. Esboce os gráficos de
e das retas tangente e normal.
.
Em cada item abaixo, calcule
, utilizando as propriedades vistas em aula.