Em cada um dos itens abaixo, faça o esboço de um gráfico de uma função f que satisfaça as condições dadas. [Sugestão: você não precisa fornecer uma expressão para a função. Basta o esboço de um gráfico. Recorde que se f é diferenciável em x_0, então f'(x0) é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)].
f definida e diferenciável em R, com f'(1)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o gráfico de uma função que é definida e diferenciável em todo o conjunto dos números reais ( ), e que a derivada dessa função no ponto é zero ( ). Isso significa que no ponto , a inclinação da reta tangente ao gráfico de é horizontal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a derivada da função ser zero em . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Se , isso indica que a reta tangente no ponto é horizontal. Geometricamente, isso pode ser um ponto de máximo, mínimo ou um ponto de inflexão na curva.

Passo 3

Agora, para desenhar o gráfico de , precisamos garantir que:
  1. A função está definida para todo real.
  2. A derivada existe em todos os pontos, incluindo .
  3. No ponto , a reta tangente é horizontal.
Vamos imaginar uma curva suave que passa por onde a inclinação é zero. Um exemplo simples seria uma parábola, que tem um ponto de mínimo ou máximo onde a derivada é zero.

Passo 4

Vamos esboçar uma parábola com vértice em . Isso garantirá que a derivada em seja zero. A curva sobe de um lado e desce do outro se for uma parábola voltada para baixo, ou desce de um lado e sobe do outro se for voltada para cima. Ambos os casos satisfazem as condições do enunciado.

Passo 5

Outra opção é uma função cúbica que tem um ponto de inflexão em . Nesse caso, a derivada também será zero em , mas a função continua seu aumento ou diminuição de inclinação antes e depois desse ponto.

Resposta

Portanto, um exemplo de gráfico que satisfaz as condições é uma parábola com vértice em , onde a reta tangente no ponto é horizontal.

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