Seja
. A função
é diferenciável em 0 ? Justifique. É contínua em 0 ? Justifique.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário:
Estamos analisando a função definida por partes:
Precisamos descobrir se a função
é diferenciável e contínua em
. Para isso, vamos utilizar conceitos de continuidade e diferenciabilidade de funções em um ponto, além de calcular limites e derivadas.
Passo 2
Analisando a Continuidade em
:
Para verificar se
é contínua em
, precisamos checar se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor de
.
Passo 3
Calculando
:
Como
, usamos a primeira parte da definição:
Passo 4
Calculando o Limite pela Esquerda (
):
Quando
se aproxima de
pela esquerda, usamos
:
Passo 5
Calculando o Limite pela Direita (
):
Quando
se aproxima de
pela direita, usamos
:
Passo 6
Conclusão sobre a Continuidade:
Como o limite pela esquerda é
e o limite pela direita é
, os limites não são iguais. Portanto, o limite geral de
quando
não existe ou não é igual a
.
Passo 7
Analisando a Diferenciabilidade em
:
Para que
seja diferenciável em
, ela precisa ser contínua em
e o limite das derivadas laterais deve ser o mesmo.
Já vimos que
não é contínua em
, então ela não pode ser diferenciável nesse ponto.
Resposta
A função
não é diferenciável em
e não é contínua em
.