Seja f(x) = { x^2, se x <= 0; 1, se x > 0 }. A função f é diferenciável em 0 ? Justifique. É contínua em 0 ? Justifique.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário:
Estamos analisando a função definida por partes:
Precisamos descobrir se a função é diferenciável e contínua em . Para isso, vamos utilizar conceitos de continuidade e diferenciabilidade de funções em um ponto, além de calcular limites e derivadas.

Passo 2

Analisando a Continuidade em :
Para verificar se é contínua em , precisamos checar se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor de .

Passo 3

Calculando :
Como , usamos a primeira parte da definição:

Passo 4

Calculando o Limite pela Esquerda ( ):
Quando se aproxima de pela esquerda, usamos :

Passo 5

Calculando o Limite pela Direita ( ):
Quando se aproxima de pela direita, usamos :

Passo 6

Conclusão sobre a Continuidade:
Como o limite pela esquerda é e o limite pela direita é , os limites não são iguais. Portanto, o limite geral de quando não existe ou não é igual a .

Passo 7

Analisando a Diferenciabilidade em :
Para que seja diferenciável em , ela precisa ser contínua em e o limite das derivadas laterais deve ser o mesmo.
Já vimos que não é contínua em , então ela não pode ser diferenciável nesse ponto.

Resposta

A função não é diferenciável em e não é contínua em .

Exercícios relacionados

Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de f no(s) ponto(s) (x0, f(x0)). Esboce os gráficos de f e das retas tangente e normal.
f(x) = x^2 - x e x0 = 1
Calcule f'(x0) pela definição, sendo dados:
f(x) = 2*x^3 - x^2 e x0 = 1
Em cada um dos itens abaixo, faça o esboço de um gráfico de uma função f que satisfaça as condições dadas. [Sugestão: você não precisa fornecer uma expressão para a função. Basta o esboço de um gráfico. Recorde que se f é diferenciável em x_0, então f'(x0) é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)].
f definida e diferenciável em R, com f'(1)=0.
Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de f no(s) ponto(s) (x0, f(x0)). Esboce os gráficos de f e das retas tangente e normal.
f(x) = 5x + 4, x0 = 2, x1 = 1.