Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de
no(s) ponto(s)
. Esboce os gráficos de
e das retas tangente e normal.
.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício onde precisa encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função
nos pontos
e
. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para achar essas retas. Precisaremos entender como calcular a derivada da função e usar a fórmula da reta tangente e normal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.
Então, a derivada
é constante e igual a 5. Isso significa que a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função é 5.
Passo 3
Agora, vamos calcular os valores de
nos pontos
e
:
Para
:
Para
:
Então, os pontos de tangência são
e
.
Passo 4
Com a derivada
, sabemos que a inclinação das retas tangente nos pontos dados é 5. Usando a fórmula da reta tangente:
Onde
é a inclinação da reta tangente e
é o ponto de tangência.
Para
:
Para
:
Interessante notar que, nesse caso, as retas tangentes são a própria função
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as retas normais. A reta normal é perpendicular à reta tangente no ponto de tangência. A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente.
Sabemos que a inclinação da tangente é 5, então a inclinação da normal é:
Usando novamente a fórmula da reta:
Para
:
Para
:
Resposta
As equações das retas tangente e normal ao gráfico de
são:
-
Para
: - Reta Tangente:
- Reta Normal:
- Reta Tangente:
-
Para
: - Reta Tangente:
- Reta Normal:
- Reta Tangente:
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, faça o esboço de um gráfico de uma função
que satisfaça as condições dadas. [Sugestão: você não precisa fornecer uma expressão para a função. Basta o esboço de um gráfico. Recorde que se
é diferenciável em
, então
é a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
definida e diferenciável em
.
Seja
. A função
é diferenciável em 0 ? Justifique. É contínua em 0 ? Justifique.
Em cada item abaixo, calcule
, utilizando as propriedades vistas em aula.
Em cada item abaixo, calcule
, utilizando as propriedades vistas em aula.