Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de f no(s) ponto(s) (x0, f(x0)). Esboce os gráficos de f e das retas tangente e normal.
f(x) = 5x + 4, x0 = 2, x1 = 1.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício onde precisa encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função nos pontos e . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para achar essas retas. Precisaremos entender como calcular a derivada da função e usar a fórmula da reta tangente e normal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.
Então, a derivada é constante e igual a 5. Isso significa que a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função é 5.

Passo 3

Agora, vamos calcular os valores de nos pontos e :
Para :
Para :
Então, os pontos de tangência são e .

Passo 4

Com a derivada , sabemos que a inclinação das retas tangente nos pontos dados é 5. Usando a fórmula da reta tangente:
Onde é a inclinação da reta tangente e é o ponto de tangência.
Para :
Para :
Interessante notar que, nesse caso, as retas tangentes são a própria função .

Passo 5

Agora, vamos encontrar as retas normais. A reta normal é perpendicular à reta tangente no ponto de tangência. A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente.
Sabemos que a inclinação da tangente é 5, então a inclinação da normal é:
Usando novamente a fórmula da reta:
Para :
Para :

Resposta

As equações das retas tangente e normal ao gráfico de são:
  • Para :
    • Reta Tangente:
    • Reta Normal:
  • Para :
    • Reta Tangente:
    • Reta Normal:

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