Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de
no(s) ponto(s)
. Esboce os gráficos de
e das retas tangente e normal.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função
nos pontos onde
e
. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para descobrir as inclinações das retas nessas posições. Vamos precisar calcular a derivada da função, avaliar essa derivada nos pontos dados e, com essas informações, montar as equações das retas tangente e normal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada
nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
.
Calculando a derivada:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada nos pontos
e
.
Para
:
Para
:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar o valor da função nos pontos
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente e os pontos dados, podemos montar a equação da reta tangente usando a fórmula:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, para encontrar a reta normal, que é perpendicular à reta tangente, precisamos da inclinação da reta normal. A inclinação da reta normal
é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente.
Para
:
Para
:
Passo 7
Com a inclinação da reta normal e os pontos dados, podemos montar a equação da reta normal usando a mesma fórmula:
Para
:
Para
:
Resposta
As equações das retas tangente e normal ao gráfico de
são:
-
Para
: - Reta tangente:
- Reta normal:
- Reta tangente:
-
Para
: - Reta tangente:
- Reta normal:
- Reta tangente: