Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de f no(s) ponto(s) (x0, f(x0)). Esboce os gráficos de f e das retas tangente e normal.
f(x) = 3x^2 - 5x + 4, x0 = 0 e x0 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função nos pontos onde e . Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para descobrir as inclinações das retas nessas posições. Vamos precisar calcular a derivada da função, avaliar essa derivada nos pontos dados e, com essas informações, montar as equações das retas tangente e normal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto .
Calculando a derivada:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada nos pontos e .
Para :
Para :

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar o valor da função nos pontos e .
Para :
Para :

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente e os pontos dados, podemos montar a equação da reta tangente usando a fórmula:
Para :
Para :

Passo 6

Agora, para encontrar a reta normal, que é perpendicular à reta tangente, precisamos da inclinação da reta normal. A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente.
Para :
Para :

Passo 7

Com a inclinação da reta normal e os pontos dados, podemos montar a equação da reta normal usando a mesma fórmula:
Para :
Para :

Resposta

As equações das retas tangente e normal ao gráfico de são:
  • Para :
    • Reta tangente:
    • Reta normal:
  • Para :
    • Reta tangente:
    • Reta normal:

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, faça o esboço de um gráfico de uma função f que satisfaça as condições dadas. [Sugestão: você não precisa fornecer uma expressão para a função. Basta o esboço de um gráfico. Recorde que se f é diferenciável em x_0, então f'(x0) é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)].
f definida e diferenciável em R, tal que f'(0) < f'(1)
Seja g(x) = { x + 1, se x < 2; 1, se x ≥ 2 }. Verifique se g é contínua e/ou diferenciável em 2. Justifique.
Em cada item abaixo, calcule g'(x), utilizando as propriedades vistas em aula.
g(x)=x sen x
Em cada item abaixo, calcule g'(x), utilizando as propriedades vistas em aula.
f(x) = 6/x^2