Seja
. Verifique se
é contínua e/ou diferenciável em 2. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes chamada
e precisamos verificar se ela é contínua e/ou diferenciável no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade e diferenciabilidade de funções, além de verificar os limites e derivadas nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em
. Uma função é contínua nesse ponto se o limite quando
se aproxima de 2 pela esquerda for igual ao limite quando
se aproxima de 2 pela direita, e ambos forem iguais ao valor da função em
.
Passo 3
Vamos calcular o limite da função
quando
se aproxima de 2 pela esquerda (
):
Como para ,
,
Como para
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 2 pela direita (
):
Para ,
,
Para
Passo 5
O valor da função em
é:
Comparando os limites:
Como os limites laterais são diferentes, a função
não é contínua em
.
Passo 6
Como a função não é contínua em
, ela também não é diferenciável nesse ponto. Isso porque, para ser diferenciável, a função precisa ser contínua e ter derivadas iguais pelos lados esquerdo e direito.
Resposta
A função
não é contínua nem diferenciável em
.
Exercícios relacionados
Em cada item abaixo, calcule
, utilizando as propriedades vistas em aula.
Em cada item abaixo, calcule
, utilizando as propriedades vistas em aula.
Em cada um dos itens abaixo, faça o esboço de um gráfico de uma função
que satisfaça as condições dadas. [Sugestão: você não precisa fornecer uma expressão para a função. Basta o esboço de um gráfico. Recorde que se
é diferenciável em
, então
é a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
definida e diferenciável em
, tal que
Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de
no(s) ponto(s)
. Esboce os gráficos de
e das retas tangente e normal.
e
.