Seja g(x) = { x + 1, se x < 2; 1, se x ≥ 2 }. Verifique se g é contínua e/ou diferenciável em 2. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes chamada e precisamos verificar se ela é contínua e/ou diferenciável no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de continuidade e diferenciabilidade de funções, além de verificar os limites e derivadas nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em . Uma função é contínua nesse ponto se o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda for igual ao limite quando se aproxima de 2 pela direita, e ambos forem iguais ao valor da função em .

Passo 3

Vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ):
Como para , ,

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 2 pela direita ( ):
Para , ,

Passo 5

O valor da função em é:
Comparando os limites:
Como os limites laterais são diferentes, a função não é contínua em .

Passo 6

Como a função não é contínua em , ela também não é diferenciável nesse ponto. Isso porque, para ser diferenciável, a função precisa ser contínua e ter derivadas iguais pelos lados esquerdo e direito.

Resposta

A função não é contínua nem diferenciável em .

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