Em cada um dos itens abaixo, faça o esboço de um gráfico de uma função f que satisfaça as condições dadas. [Sugestão: você não precisa fornecer uma expressão para a função. Basta o esboço de um gráfico. Recorde que se f é diferenciável em x_0, então f'(x0) é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)].
f definida e diferenciável em R, tal que f'(0) < f'(1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o gráfico de uma função que é definida e diferenciável em todos os números reais ( ). Além disso, a inclinação da reta tangente no ponto deve ser menor que a inclinação no ponto , ou seja, . Vamos usar conceitos de derivadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que a derivada representa a inclinação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Então, dizer que quer dizer que a inclinação no ponto é menor que no ponto .

Passo 3

Agora, vamos pensar em como isso afeta o gráfico da função. Se a inclinação está aumentando de para , significa que a função está ficando mais “ascendente” ou sua taxa de crescimento está aumentando nesse intervalo.

Passo 4

Para desenhar o esboço, comece desenhando um gráfico suave que passa pelo menos pelos pontos e . No ponto , a reta tangente deve ser mais “rasa” (menor inclinação), e no ponto , a reta tangente deve ser mais inclinada.

Passo 5

Uma maneira simples de visualizar isso é imaginar uma função cúbica, como , mas ajustando para que a inclinação no seja menor que no . O importante é garantir que a inclinação aumente de para .

Resposta

O esboço do gráfico de deve mostrar uma curva suave onde, no ponto , a reta tangente tem uma inclinação menor do que no ponto . Assim, a função deve estar aumentando mais rapidamente conforme avançamos de para .

Exercícios relacionados

Seja g(x) = { x + 1, se x < 2; 1, se x ≥ 2 }. Verifique se g é contínua e/ou diferenciável em 2. Justifique.
Em cada item abaixo, calcule g'(x), utilizando as propriedades vistas em aula.
g(x) = e^x * sen(x) * cos(x)
Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de f no(s) ponto(s) (x0, f(x0)). Esboce os gráficos de f e das retas tangente e normal.
f(x) = 3x^2 - 5x + 4, x0 = 0 e x0 = 1.
Em cada item abaixo, calcule g'(x), utilizando as propriedades vistas em aula.
g(x)=x sen x