Em cada um dos itens abaixo, faça o esboço de um gráfico de uma função
que satisfaça as condições dadas. [Sugestão: você não precisa fornecer uma expressão para a função. Basta o esboço de um gráfico. Recorde que se
é diferenciável em
, então
é a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
definida e diferenciável em
, tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o gráfico de uma função
que é definida e diferenciável em todos os números reais (
). Além disso, a inclinação da reta tangente no ponto
deve ser menor que a inclinação no ponto
, ou seja,
. Vamos usar conceitos de derivadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que a derivada
representa a inclinação da reta tangente ao gráfico da função no ponto
. Então, dizer que
quer dizer que a inclinação no ponto
é menor que no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos pensar em como isso afeta o gráfico da função. Se a inclinação está aumentando de
para
, significa que a função está ficando mais “ascendente” ou sua taxa de crescimento está aumentando nesse intervalo.
Passo 4
Para desenhar o esboço, comece desenhando um gráfico suave que passa pelo menos pelos pontos
e
. No ponto
, a reta tangente deve ser mais “rasa” (menor inclinação), e no ponto
, a reta tangente deve ser mais inclinada.
Passo 5
Uma maneira simples de visualizar isso é imaginar uma função cúbica, como
, mas ajustando para que a inclinação no
seja menor que no
. O importante é garantir que a inclinação aumente de
para
.
Resposta
O esboço do gráfico de
deve mostrar uma curva suave onde, no ponto
, a reta tangente tem uma inclinação menor do que no ponto
. Assim, a função deve estar aumentando mais rapidamente conforme avançamos de
para
.
Exercícios relacionados
Seja
. Verifique se
é contínua e/ou diferenciável em 2. Justifique.
Em cada item abaixo, calcule
, utilizando as propriedades vistas em aula.
Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de
no(s) ponto(s)
. Esboce os gráficos de
e das retas tangente e normal.
e
.
Em cada item abaixo, calcule
, utilizando as propriedades vistas em aula.