Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de f no(s) ponto(s) (x0, f(x0)). Esboce os gráficos de f e das retas tangente e normal.
f(x) = sen x, e x0 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto , onde . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangente e normal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto onde queremos encontrar as retas. Como , vamos calcular :
Então, o ponto é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente. Para isso, calculamos a derivada de , que nos dá a inclinação da reta em qualquer ponto .
A derivada de é:

Passo 4

Vamos avaliar a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é 1.

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente ( ) e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Então, a equação da reta tangente é .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente.

Passo 7

Usando a inclinação da reta normal ( ) e o ponto , aplicamos a mesma fórmula da reta:
Então, a equação da reta normal é .

Resposta

A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é .

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, faça o esboço de um gráfico de uma função f que satisfaça as condições dadas. [Sugestão: você não precisa fornecer uma expressão para a função. Basta o esboço de um gráfico. Recorde que se f é diferenciável em x_0, então f'(x0) é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)].
f definida e diferenciável em R, tal que f'(x) > 0 para x < 1 e f'(x) < 0 para x > 1.
Mostre que se existir f'(0), então f é diferenciável em R e f'(x) = f'(0) f(x), para todo x em R.
Em cada item abaixo, calcule g'(x), utilizando as propriedades vistas em aula.
g(x) = x^3 + x^2 + 7*x + 6
Em cada item abaixo, calcule g'(x), utilizando as propriedades vistas em aula.
g(x) = 5x + x/(x-1)