Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de
no(s) ponto(s)
. Esboce os gráficos de
e das retas tangente e normal.
, e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função
no ponto
, onde
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangente e normal.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o ponto onde queremos encontrar as retas. Como
, vamos calcular
:
Então, o ponto é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente. Para isso, calculamos a derivada de
, que nos dá a inclinação da reta em qualquer ponto
.
A derivada de
é:
Passo 4
Vamos avaliar a derivada no ponto
:
Então, a inclinação da reta tangente é 1.
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente (
) e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Então, a equação da reta tangente é
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente.
Passo 7
Usando a inclinação da reta normal (
) e o ponto
, aplicamos a mesma fórmula da reta:
Então, a equação da reta normal é
.
Resposta
A equação da reta tangente é
e a equação da reta normal é
.