Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de f no(s) ponto(s) (x0, f(x0)). Esboce os gráficos de f e das retas tangente e normal.
f(x) = sen x, e x0 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto , onde . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangente e normal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto onde queremos encontrar as retas. Como , vamos calcular :
Então, o ponto é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente. Para isso, calculamos a derivada de , que nos dá a inclinação da reta em qualquer ponto .
A derivada de é:

Passo 4

Vamos avaliar a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é 1.

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente ( ) e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Então, a equação da reta tangente é .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente.

Passo 7

Usando a inclinação da reta normal ( ) e o ponto , aplicamos a mesma fórmula da reta:
Então, a equação da reta normal é .

Resposta

A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é .

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