Em cada um dos itens abaixo, faça o esboço de um gráfico de uma função
que satisfaça as condições dadas. [Sugestão: você não precisa fornecer uma expressão para a função. Basta o esboço de um gráfico. Recorde que se
é diferenciável em
, então
é a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
definida e diferenciável em
, tal que
para
e
para
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado tá pedindo. Temos que desenhar o gráfico de uma função
que é definida e diferenciável em todos os números reais (
). A função tem a derivada positiva (
) quando
e negativa (
) quando
. Isso envolve conceitos de derivadas e como elas influenciam o comportamento do gráfico de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto nos diz a inclinação da reta tangente ao gráfico nesse ponto. Se
, significa que a função está crescendo naquele intervalo, ou seja, o gráfico está subindo à medida que
aumenta.
Passo 3
Então, para
, como
, sabemos que a função está aumentando. Isso quer dizer que, no gráfico, conforme nos movemos para a direita (aumentando
), o valor de
também aumenta, fazendo o gráfico subir.
Passo 4
Agora, para
, temos que
, o que indica que a função está decrescendo nesse intervalo. Ou seja, conforme aumentamos
,
diminui, fazendo o gráfico descer.
Passo 5
No ponto
, a derivada muda de positiva para negativa. Isso é um sinal de que há um ponto de máximo nesse ponto. Então, o gráfico da função atinge seu pico em
.
Resposta
O gráfico da função
sobe quando
é menor que 1, alcança um ponto máximo em
e desce quando
é maior que 1. Basicamente, ele tem uma forma de “montanha” com o pico em
.
Exercícios relacionados
Mostre que se existir
, então
é diferenciável em
e
, para todo
.
Encontre a equação da reta tangente e da reta normal à curva
no ponto
.
Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de
no(s) ponto(s)
. Esboce os gráficos de
e das retas tangente e normal.
, e
.
Em cada item abaixo, calcule
, utilizando as propriedades vistas em aula.