Em cada um dos itens abaixo, faça o esboço de um gráfico de uma função f que satisfaça as condições dadas. [Sugestão: você não precisa fornecer uma expressão para a função. Basta o esboço de um gráfico. Recorde que se f é diferenciável em x_0, então f'(x0) é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)].
f definida e diferenciável em R, tal que f'(x) > 0 para x < 1 e f'(x) < 0 para x > 1.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado tá pedindo. Temos que desenhar o gráfico de uma função que é definida e diferenciável em todos os números reais ( ). A função tem a derivada positiva ( ) quando e negativa ( ) quando . Isso envolve conceitos de derivadas e como elas influenciam o comportamento do gráfico de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto nos diz a inclinação da reta tangente ao gráfico nesse ponto. Se , significa que a função está crescendo naquele intervalo, ou seja, o gráfico está subindo à medida que aumenta.

Passo 3

Então, para , como , sabemos que a função está aumentando. Isso quer dizer que, no gráfico, conforme nos movemos para a direita (aumentando ), o valor de também aumenta, fazendo o gráfico subir.

Passo 4

Agora, para , temos que , o que indica que a função está decrescendo nesse intervalo. Ou seja, conforme aumentamos , diminui, fazendo o gráfico descer.

Passo 5

No ponto , a derivada muda de positiva para negativa. Isso é um sinal de que há um ponto de máximo nesse ponto. Então, o gráfico da função atinge seu pico em .

Resposta

O gráfico da função sobe quando é menor que 1, alcança um ponto máximo em e desce quando é maior que 1. Basicamente, ele tem uma forma de “montanha” com o pico em .

Exercícios relacionados

Mostre que se existir f'(0), então f é diferenciável em R e f'(x) = f'(0) f(x), para todo x em R.
Encontre a equação da reta tangente e da reta normal à curva y = x^3 - 2x^2 + 4 no ponto 2,4.
Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de f no(s) ponto(s) (x0, f(x0)). Esboce os gráficos de f e das retas tangente e normal.
f(x) = sen x, e x0 = 0.
Em cada item abaixo, calcule g'(x), utilizando as propriedades vistas em aula.
g(x) = x^3 + x^2 + 7*x + 6