Mostre que se existir f'(0), então f é diferenciável em R e f'(x) = f'(0) f(x), para todo x em R.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: se a derivada de em 0, , existe, então a função é diferenciável em todos os números reais e sua derivada em qualquer ponto , , é igual a vezes . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de diferenciabilidade e propriedades de derivadas.

Passo 2

Primeiro, lembramos que uma função é diferenciável em um ponto se sua derivada existe nesse ponto. O enunciado nos diz que existe, ou seja, é diferenciável em .

Passo 3

Queremos mostrar que é diferenciável em qualquer . Para isso, vamos derivar a função e encontrar uma relação para .

Passo 4

Assumimos que é diferenciável em um ponto . Vamos usar a definição de derivada:

Passo 5

Dado que , substituímos na expressão da derivada:

Passo 6

Isso sugere que a taxa de variação de em qualquer ponto é proporcional ao valor de nesse ponto, com a constante de proporcionalidade sendo .

Passo 7

Essa é uma equação diferencial simples cuja solução geral é uma função exponencial. Assim, deve ter a forma:

Passo 8

Como é uma função exponencial, sabemos que ela é diferenciável em todos os , e sua derivada é:

Resposta

Portanto, se existe, então é diferenciável em e para todo , .

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Encontre a equação da reta tangente e da reta normal à curva y = x^3 - 2x^2 + 4 no ponto 2,4.
Seja f(x) = {-x + 3, se x < 3; x - 3, se x ≥ 3}. A função f é diferenciável em 3 ? Justifique. É contínua em 3? Justifique.
Em cada um dos itens abaixo, faça o esboço de um gráfico de uma função f que satisfaça as condições dadas. [Sugestão: você não precisa fornecer uma expressão para a função. Basta o esboço de um gráfico. Recorde que se f é diferenciável em x_0, então f'(x0) é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)].
f definida e diferenciável em R, tal que f'(x) > 0 para x < 1 e f'(x) < 0 para x > 1.
Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de f no(s) ponto(s) (x0, f(x0)). Esboce os gráficos de f e das retas tangente e normal.
f(x) = sen x, e x0 = 0.