Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de f no(s) ponto(s) (x0, f(x0)). Esboce os gráficos de f e das retas tangente e normal.
(a) f(x) = x^2 e x0 = 2

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de derivadas, especificamente encontrando as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função no ponto onde . Pra isso, vamos precisar saber calcular derivadas e usar essas derivadas para achar a inclinação das retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de . Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de , que nos dá a inclinação da reta tangente:
Substituindo :
A inclinação da reta tangente é 4.

Passo 4

Usando a inclinação da tangente e o ponto , podemos escrever a equação da reta tangente usando a fórmula ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Então, a equação da reta tangente é .

Passo 5

A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Então:
Usando novamente a fórmula ponto-inclinação com o ponto :
Então, a equação da reta normal é .

Resposta

A reta tangente ao gráfico de no ponto é e a reta normal é .

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Calcule f'(x0) pela definição, sendo dados:
f(x) = 1/x e x0 = 1
Calcule f'(x0) pela definição, sendo dados:
f(x) = raiz3(x) e x0 = 2
Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de f no(s) ponto(s) (x0, f(x0)). Esboce os gráficos de f e das retas tangente e normal.
f(x) = 1/x e x0 = 2
Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de f no(s) ponto(s) (x0, f(x0)). Esboce os gráficos de f e das retas tangente e normal.
f(x) = raiz(x) e x0 = 9