Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de f no(s) ponto(s) (x0, f(x0)). Esboce os gráficos de f e das retas tangente e normal.
f(x) = 1/x e x0 = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangente e normal em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto . Isso significa substituir por 2 na função :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função , que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . A função é , que pode ser reescrita como . A derivada de é:

Passo 4

Vamos calcular a derivada no ponto :
Essa é a inclinação da reta tangente no ponto .

Passo 5

Com a inclinação da tangente e o ponto de tangência , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação da reta tangente é .

Passo 6

A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente:
Usando a mesma fórmula da reta, com :
Simplificando:
Então, a equação da reta normal é .

Resposta

As equações das retas são:
  • Reta tangente:
  • Reta normal:

Exercícios relacionados

Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de f no(s) ponto(s) (x0, f(x0)). Esboce os gráficos de f e das retas tangente e normal.
(a) f(x) = x^2 e x0 = 2
Calcule f'(x0) pela definição, sendo dados:
f(x) = 1/x e x0 = 1
Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de f no(s) ponto(s) (x0, f(x0)). Esboce os gráficos de f e das retas tangente e normal.
f(x) = raiz(x) e x0 = 9
Mostre os seguintes itens abaixo
sinh'(x) = cosh(x) e cosh(x)' = sinh(x), onde sinh(x) = (e^x - e^-x) / 2 e cosh x = (e^x + e^(-x)) / 2