Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de
no(s) ponto(s)
. Esboce os gráficos de
e das retas tangente e normal.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função
no ponto onde
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangente e normal em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto
. Isso significa substituir
por 2 na função
:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função
, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
. A função é
, que pode ser reescrita como
. A derivada de
é:
Passo 4
Vamos calcular a derivada no ponto
:
Essa é a inclinação da reta tangente no ponto
.
Passo 5
Com a inclinação da tangente
e o ponto de tangência
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação da reta tangente é
.
Passo 6
A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da normal
é o negativo do inverso da inclinação da tangente:
Usando a mesma fórmula da reta, com
:
Simplificando:
Então, a equação da reta normal é
.
Resposta
As equações das retas são:
- Reta tangente:
- Reta normal:
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Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de
no(s) ponto(s)
. Esboce os gráficos de
e das retas tangente e normal.
(a) e
(a)
Calcule
pela definição, sendo dados:
e
Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de
no(s) ponto(s)
. Esboce os gráficos de
e das retas tangente e normal.
e
Mostre os seguintes itens abaixo
e
, onde
e