Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de f no(s) ponto(s) (x0, f(x0)). Esboce os gráficos de f e das retas tangente e normal.
f(x) = raiz(x) e x0 = 9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função no ponto onde . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de . Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de , que representa a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . A derivada de é:

Passo 4

Vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação e o ponto de tangência, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde é a inclinação e é o ponto. Substituindo os valores:
Simplificando a equação:
Então, a equação da reta tangente é:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Se , então:

Passo 7

Usando novamente a fórmula da equação da reta com a inclinação da normal e o ponto :
Simplificando:
Então, a equação da reta normal é:

Resposta

A reta tangente ao gráfico de no ponto é e a reta normal é .

Exercícios relacionados

Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de f no(s) ponto(s) (x0, f(x0)). Esboce os gráficos de f e das retas tangente e normal.
f(x) = 1/x e x0 = 2
Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de f no(s) ponto(s) (x0, f(x0)). Esboce os gráficos de f e das retas tangente e normal.
(a) f(x) = x^2 e x0 = 2
Mostre os seguintes itens abaixo
sinh'(x) = cosh(x) e cosh(x)' = sinh(x), onde sinh(x) = (e^x - e^-x) / 2 e cosh x = (e^x + e^(-x)) / 2
Calcule a derivada das seguintes funções
2 x^(4/3) - 3 x^(2/3)