Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de
no(s) ponto(s)
. Esboce os gráficos de
e das retas tangente e normal.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função
no ponto onde
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
. Substituindo
na função:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
, que representa a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
. A derivada de
é:
Passo 4
Vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto
:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
Com a inclinação e o ponto de tangência, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde
é a inclinação e
é o ponto. Substituindo os valores:
Simplificando a equação:
Então, a equação da reta tangente é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Se
, então:
Passo 7
Usando novamente a fórmula da equação da reta com a inclinação da normal e o ponto
:
Simplificando:
Então, a equação da reta normal é:
Resposta
A reta tangente ao gráfico de
no ponto
é
e a reta normal é
.
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Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de
no(s) ponto(s)
. Esboce os gráficos de
e das retas tangente e normal.
e
Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de
no(s) ponto(s)
. Esboce os gráficos de
e das retas tangente e normal.
(a) e
(a)
Mostre os seguintes itens abaixo
e
, onde
e
Calcule a derivada das seguintes funções