Calcule f'(x0) pela definição, sendo dados:
f(x) = raiz3(x) e x0 = 2

Passo 1

Beleza, a questão quer que a gente calcule a derivada de no ponto usando a definição de derivada. Isso significa que vamos precisar entender o que é derivada e como aplicá-la passo a passo nessa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de uma função no ponto é o limite da taxa de variação média da função quando o intervalo considerado tende a zero. Matemáticamente, isso é representado por:
Nesse caso, e .

Passo 3

Vamos substituir e na fórmula da derivada:
Agora, precisamos calcular esse limite para encontrar a derivada.

Passo 4

Para resolver o limite, vamos utilizar a propriedade das funções contínuas e polinomiais. Sabemos que a derivada da função pode ser calculada usando regras de derivação, mas como estamos seguindo a definição, vamos simplificar o limite diretamente.
Vamos calcular quando tende a 0. Podemos usar uma aproximação para a raiz cúbica:

Passo 5

Substituindo essa aproximação na expressão do limite:
Simplificando, o no numerador e denominador se cancelam:

Resposta

A derivada de no ponto é:

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Calcule f'(x0) pela definição, sendo dados:
f(x) = 1/x^2 e x0 = 2
Calcule f'(x0) pela definição, sendo dados:
f(x) = 12 x e x0 = 3
Calcule f'(x0) pela definição, sendo dados:
f(x) = 1/x e x0 = 1
Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de f no(s) ponto(s) (x0, f(x0)). Esboce os gráficos de f e das retas tangente e normal.
(a) f(x) = x^2 e x0 = 2