Calcule
pela definição, sendo dados:
e
Passo 1
Beleza, a questão quer que a gente calcule a derivada de
no ponto
usando a definição de derivada. Isso significa que vamos precisar entender o que é derivada e como aplicá-la passo a passo nessa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de uma função
no ponto
é o limite da taxa de variação média da função quando o intervalo considerado tende a zero. Matemáticamente, isso é representado por:
Nesse caso,
e
.
Passo 3
Vamos substituir
e
na fórmula da derivada:
Agora, precisamos calcular esse limite para encontrar a derivada.
Passo 4
Para resolver o limite, vamos utilizar a propriedade das funções contínuas e polinomiais. Sabemos que a derivada da função
pode ser calculada usando regras de derivação, mas como estamos seguindo a definição, vamos simplificar o limite diretamente.
Vamos calcular
quando
tende a 0. Podemos usar uma aproximação para a raiz cúbica:
Passo 5
Substituindo essa aproximação na expressão do limite:
Simplificando, o
no numerador e denominador se cancelam:
Resposta
A derivada de
no ponto
é:
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Calcule
pela definição, sendo dados:
e
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pela definição, sendo dados:
e
Calcule
pela definição, sendo dados:
e
Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de
no(s) ponto(s)
. Esboce os gráficos de
e das retas tangente e normal.
(a) e
(a)