Mostre os seguintes itens abaixo
e
, onde
e
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos mostrar que a derivada da função seno hiperbólico,
, é igual ao cosseno hiperbólico,
, e que a derivada do cosseno hiperbólico,
, é igual ao seno hiperbólico,
. Para isso, vamos usar as definições dessas funções:
Vamos precisar conhecer como derivar funções exponenciais e aplicar as regras básicas de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar
. Começamos substituindo a definição na função:
Agora, aplicamos a regra da derivada para cada termo. A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 3
Observamos que a expressão que obtivemos para a derivada de
é:
Mas, pela definição, essa é exatamente a função
. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos derivar
. Substituímos a definição na função:
Aplicamos a regra da derivada para cada termo. A derivada de
é
, e a derivada de
é
. Então:
Passo 5
A expressão que obtivemos para a derivada de
é:
Essa é justamente a definição da função
. Portanto:
Resposta
Mostramos que:
Exercícios relacionados
Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de
no(s) ponto(s)
. Esboce os gráficos de
e das retas tangente e normal.
e
Em cada item abaixo, determine as equações da retas tangente e normal ao gráfico de
no(s) ponto(s)
. Esboce os gráficos de
e das retas tangente e normal.
e
Calcule a derivada das seguintes funções
Calcule a derivada das seguintes funções