Mostre os seguintes itens abaixo
sinh'(x) = cosh(x) e cosh(x)' = sinh(x), onde sinh(x) = (e^x - e^-x) / 2 e cosh x = (e^x + e^(-x)) / 2

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos mostrar que a derivada da função seno hiperbólico, , é igual ao cosseno hiperbólico, , e que a derivada do cosseno hiperbólico, , é igual ao seno hiperbólico, . Para isso, vamos usar as definições dessas funções:
Vamos precisar conhecer como derivar funções exponenciais e aplicar as regras básicas de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar . Começamos substituindo a definição na função:
Agora, aplicamos a regra da derivada para cada termo. A derivada de e^x em relação a x é e^x, e a derivada de e^-x em relação a x é . Então:

Passo 3

Observamos que a expressão que obtivemos para a derivada de é:
Mas, pela definição, essa é exatamente a função . Portanto:

Passo 4

Agora, vamos derivar . Substituímos a definição na função:
Aplicamos a regra da derivada para cada termo. A derivada de e^x é e^x, e a derivada de e^-x é . Então:

Passo 5

A expressão que obtivemos para a derivada de é:
Essa é justamente a definição da função . Portanto:

Resposta

Mostramos que:

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