Em cada item abaixo determine o grupo cíclico calcule a ordem do elemento em cada grupo dado.
a) em como grupo multiplicativo de matrizes.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para determinar o grupo cíclico gerado por um elemento específico e calcular a ordem desse elemento dentro do grupo . Aqui, é o grupo de todas as matrizes 2x2 invertíveis com entradas reais, e a gente vai trabalhar com a multiplicação de matrizes. Vamos precisar entender o que é um grupo cíclico, como gerar esse grupo a partir de um elemento e como encontrar a ordem de um elemento em um grupo.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é um grupo cíclico. Um grupo cíclico é formado por todos os poderes de um elemento de um grupo, ou seja, , onde é a matriz identidade. A ordem do elemento é o menor número positivo tal que seja a identidade.

Passo 3

Vamos analisar a matriz . Essa matriz representa uma rotação de 90 graus no plano. Sabemos que aplicar essa rotação quatro vezes completa um ciclo de 360 graus, voltando à posição inicial. Matemáticamente, isso significa que , onde é a matriz identidade.

Passo 4

Vamos calcular as potências de para confirmar isso:
  • (isto é, uma rotação de 180 graus)
  • (rotação de 270 graus)
  • (retornando à identidade)

Passo 5

Como e não existe nenhum tal que , a ordem de no grupo é 4.

Resposta

O grupo cíclico gerado por é e a ordem do elemento em é 4.

Exercícios relacionados

Prove que definida por é um homomorfismo de grupos. Deternine o núcleo de .
Verifique se ou é subgrupo do grupo multiplicativo .
í
Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismos de grupos.
a) definida por
Seja um grupo, para todo fixado, mostre que a aplicação definida por é um homomorfismo.