Em cada item abaixo determine o grupo cíclico
calcule a ordem do elemento
em cada grupo dado.
a)
em
como grupo multiplicativo de matrizes.
a)
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para determinar o grupo cíclico gerado por um elemento específico
e calcular a ordem desse elemento dentro do grupo
. Aqui,
é o grupo de todas as matrizes 2x2 invertíveis com entradas reais, e a gente vai trabalhar com a multiplicação de matrizes. Vamos precisar entender o que é um grupo cíclico, como gerar esse grupo a partir de um elemento e como encontrar a ordem de um elemento em um grupo.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é um grupo cíclico. Um grupo cíclico é formado por todos os poderes de um elemento
de um grupo, ou seja,
, onde
é a matriz identidade. A ordem do elemento
é o menor número positivo
tal que
seja a identidade.
Passo 3
Vamos analisar a matriz
. Essa matriz representa uma rotação de 90 graus no plano. Sabemos que aplicar essa rotação quatro vezes completa um ciclo de 360 graus, voltando à posição inicial. Matemáticamente, isso significa que
, onde
é a matriz identidade.
Passo 4
Vamos calcular as potências de
para confirmar isso:
-
-
(isto é, uma rotação de 180 graus) -
(rotação de 270 graus) -
(retornando à identidade)
Passo 5
Como
e não existe nenhum
tal que
, a ordem de
no grupo
é 4.
Resposta
O grupo cíclico gerado por
é
e a ordem do elemento
em
é 4.
Exercícios relacionados
Prove que
definida por
é um homomorfismo de grupos. Deternine o núcleo de
.
Verifique se
ou
é subgrupo do grupo multiplicativo
.
Verifique se as aplicações abaixo são homomorfismos de grupos.
a) definida por
a)
Seja
um grupo, para todo
fixado, mostre que a aplicação
definida por
é um homomorfismo.