Prove que varphi:(Z times Z,+) longrightarrow(Z times Z,+) definida por varphi(x, y)=(x-y, 0) é um homomorfismo de grupos. Deternine o núcleo de varphi.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que a função varphi: (Z times Z, +) longrightarrow (Z times Z, +) definida por varphi(x, y) = (x - y, 0) é um homomorfismo de grupos e determinar o núcleo de varphi.
Matéria envolvida: Teoria dos Grupos, especificamente homomorfismos de grupos e núcleo de um homomorfismo.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é um homomorfismo de grupos.
  • Saber como verificar se uma função é um homomorfismo.
  • Conhecer a definição de núcleo de um homomorfismo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um homomorfismo de grupos. Um homomorfismo é uma função entre dois grupos que preserva a operação do grupo. Isso significa que, para uma função varphi: G longrightarrow H, onde G e H são grupos, devemos ter:
varphi(a + b) = varphi(a) + varphi(b) para todos a, b in G
No nosso caso, os grupos envolvidos são (Z times Z, +), onde a operação é a adição de pares ordenados.

Passo 3

Vamos verificar se a função varphi(x, y) = (x - y, 0) preserva a operação de adição.
Tomemos dois elementos quaisquer em Z times Z: (x1, y1) e (x2, y2).
Primeiro, somamos esses dois elementos no grupo de partida:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
Agora, aplicamos a função varphi nesse resultado:
varphi((x1 + x2, y1 + y2)) = ((x1 + x2) - (y1 + y2), 0) = (x1 + x2 - y1 - y2, 0)
Por outro lado, aplicamos a função varphi separadamente a cada elemento e depois somamos:
varphi(x1, y1) = (x1 - y1, 0)
varphi(x2, y2) = (x2 - y2, 0)
Somando os resultados:
varphi(x1, y1) + varphi(x2, y2) = (x1 - y1 + x2 - y2, 0 + 0) = (x1 + x2 - y1 - y2, 0)

Passo 4

Comparando os dois resultados obtidos:
varphi((x1 + x2, y1 + y2)) = (x1 + x2 - y1 - y2, 0)
e
varphi(x1, y1) + varphi(x2, y2) = (x1 + x2 - y1 - y2, 0)
Percebemos que eles são iguais. Isso mostra que a função varphi preserva a operação de adição, ou seja, varphi(a + b) = varphi(a) + varphi(b) para todos a, b in Z times Z.

Passo 5

Como demonstramos que varphi preserva a operação de adição, concluímos que varphi é, de fato, um homomorfismo de grupos.
Agora, vamos determinar o núcleo de varphi. O núcleo de um homomorfismo é o conjunto de todos os elementos do grupo de partida que são mapeados para o elemento neutro do grupo de chegada.
No grupo (Z times Z, +), o elemento neutro é (0, 0).
Então, o núcleo de varphi é:
Ker(varphi) = , (x, y) in Z times Z | varphi(x, y) = (0, 0) ,
Vamos resolver a equação varphi(x, y) = (0, 0):
varphi(x, y) = (x - y, 0) = (0, 0)
Isso implica que:
  1. x - y = 0 Rightarrow x = y
  2. O segundo componente já é 0, como esperado.
Portanto, o núcleo de varphi é o conjunto de todos os pares (x, x) onde x in Z.

Resposta

A função varphi é um homomorfismo de grupos e o núcleo de varphi é o conjunto , (x, x) | x in Z ,.

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