Prove que definida por é um homomorfismo de grupos. Deternine o núcleo de .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar que a função definida por é um homomorfismo de grupos e determinar o núcleo de .
Matéria envolvida: Teoria dos Grupos, especificamente homomorfismos de grupos e núcleo de um homomorfismo.
O que vamos precisar:
Entender o que é um homomorfismo de grupos.
Saber como verificar se uma função é um homomorfismo.
Conhecer a definição de núcleo de um homomorfismo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um homomorfismo de grupos. Um homomorfismo é uma função entre dois grupos que preserva a operação do grupo. Isso significa que, para uma função , onde e são grupos, devemos ter:
No nosso caso, os grupos envolvidos são , onde a operação é a adição de pares ordenados.
Passo 3
Vamos verificar se a função preserva a operação de adição.
Tomemos dois elementos quaisquer em : e .
Primeiro, somamos esses dois elementos no grupo de partida:
Agora, aplicamos a função nesse resultado:
Por outro lado, aplicamos a função separadamente a cada elemento e depois somamos:
Somando os resultados:
Passo 4
Comparando os dois resultados obtidos:
e
Percebemos que eles são iguais. Isso mostra que a função preserva a operação de adição, ou seja, para todos .
Passo 5
Como demonstramos que preserva a operação de adição, concluímos que é, de fato, um homomorfismo de grupos.
Agora, vamos determinar o núcleo de . O núcleo de um homomorfismo é o conjunto de todos os elementos do grupo de partida que são mapeados para o elemento neutro do grupo de chegada.
No grupo , o elemento neutro é .
Então, o núcleo de é:
Vamos resolver a equação :
Isso implica que:
O segundo componente já é , como esperado.
Portanto, o núcleo de é o conjunto de todos os pares onde .
Resposta
A função é um homomorfismo de grupos e o núcleo de é o conjunto .